补充资料：代数簇的自同构

代数簇的自同构
algebraic variety, automorphism of an

代数簇的自同构t目geb面c份riety，如加m训户ism成an;即.浦种明田曰习M翻议峨阳呱~哪冲眯]x‘二ax十权 少‘:二卿一八;)的变换，其中“，b，c任k，“护O，c尹O，f(x)是x的任意多项式(14】，t51).关于自同构群可迁地作用的仿射代数曲面，见【6]，代数簇(或概形)到自身的可逆态射.代数簇X的所有自同构的群，通常记为ALlt X.是X的一个重要不变量.研究代数簇的自同构群在与X函子关联的对象上的作用情况，是研究代数簇本身的一个工具，这些对象有巧口川群(Pi以rd grouP)，周(炜良)环(Chowring)，K一函子(K一functor)及上同调群.代数簇的自同构群对于代数簇的型(form)的概念是很重要的.对于复数域_L的完全代数簇，自同构群等同于双全纯自同构的群. 对于许多简一单的代数簇，群A以X的结构是已知的.例如当X是域人上n维射影空间尸时，它的任一自同构都是线性射影变换，而且Aut尸”等同于射影线性群PLG(。十1，的.椭圆曲线，以及一般地，任何Abel簇A的自同构群是群G通过群A(k)的扩张，这里G是保持Abel簇结构的自同构的群，通(幻是Abel簇A的点作平移的群，即有正合群列 1一*一4(k)*Aut」一，G 0 1.若X是亏格g>l的光滑完全代数曲线，则群AntX是有限的;已经知道它的阶作为夕的函数的估计(见代数曲线(al罗braic curve)).关于代数曲面的自同构，见代数曲面(al罗brale surfaCe)· 当代数簇具有丰富的典范或反典范可逆层时，对某N自同构群是群PLG(N，k)的一个代数子群.维数n)2，次数d)3的光滑超曲面的自同构群是有限的(【1〕). 在上述例子中，AutX具有自然的代数群结构，可能有无限多个连通分支;这在一般的情形仍然正确(!2}). 现代研究代数簇自同构群是考虑自同构的族.以T作为参量概形的簇x的自同构族(family of automor-phisms)是积X火T的自同构集，它们与到第二个因子上的射影可交换;具有参量概形T的自同构族的集合记为Aut:(XxT).这就得到一个反变函子Tl一A以袱X火T)，若X是完全簇，则这个函子是局部可表示的(见可表示函子(rePresentable functor))，其代数群概形至多具有可数个连通分支(!31)在射影簇的情形下，A，Grothendieck给出了一个证明，这个定理己被推广到正常平坦态射概形的情形.即使X是光滑射影曲面，表示这个函子的概形也不必是约化的;不过当基域的特征等于O或者X是光滑曲线或光滑超曲面时，这个概形的单位元连通分支是一个簇. 对于不完全簇，自同构函子并不总是在概形的范畴内可表示的.对于仿射簇，自同构函子在概形的归纳极限的范畴内是可表示的. 除了仿射直线的简单情形外，对于仿射空间，只有仿射平面的自同构群是已知的.这是两个子群的具有融和交的自由积，这两个子群就是线性仿射变换的子群及三角自同构的子群，即形如

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