补充资料：Hilbert变换

Hilbert变换
Hflbert transform

F口映时变换IF口饭时如.目触而;r妞二浦e脚a。碑丽pa-300ao.el，函数f的 反常积分 l下f(x+t、一r‘(x一t) a 1 XI=—I一己不.1 IJ 兀J【 0 如果f任L(一的，的)，则对于几乎所有x值，函数g存在·如果f‘气(一的，‘)，p任(1，的)，则函数g也属于乌(一的，的)，并且反演公式 “二、=一上f月赵三旦上」业生旦.d:。2、 兀节r几乎处处成立.这里 丁}。(x)!2。、叽J，，(x):、，(3)其中常数城仅依赖于P. 公式(l)和(2)等价于公式 a(x卜上fZ交生己t.(4) 兀几i一x *(x卜上f卫业立、‘_(5) 7r少，r一X其中积分被理解为主值意义下的. 在主值意义下考虑的积分 2沈 “‘·，一责)f“，cotan宁‘亡(6，也称为f的Hilbert变换.这个积分通常称为H刃比找奇异积分(珊比d 51刀g川ar integ阁).在Fo~级数的理论中，由(6)定义的函数g称为与f是共扼的(conj火笋te). 如果了6L(0，2兀)，则g几乎处处存在，而如果f满足。(“〔(0，l))阶Li砂面tZ条件，则对于任何x，g存在，并且也满足同样条件.如果f‘乌(0，2幻;P钊1，co)，则g具有同样性质，并且存在类似于(3)的不等式，其中积分取在区间(O，2幻上.因此，由田比n变换生成的积分换子是相应空间L，上的有界(线性)算子. 如果f满足LipschitZ条件，或者f‘气(o，2幻，并且还有 2沈 丁。‘x，“x一“， 0则下列反演公式成立: f(·卜一责了。(亡)cotan子、亡，(7)并且一“-----一 2兀 丁，(x)d、一。. 0在满足Li娜chitZ条件的函数类中，等式(7)处处成立，而在p次幂可积的函数类中，等式(7)几乎处处成立. 可以把上述各对公式中的一个公式，例如(4)或(5)，看成一个第一类积分方程;这时，另一个公式给出这个方程的解. 如果把函数co枷{(t一x)/2}和l/(r一x)看成积分算子的核，则它们常常称为别口映时核(田忱找ker-nel)和0的y核(〔泣uchy keIT把1).在单位圆的情况下，在这两个核之间存在简单关系: d;1「卜x二1， 食一言L①tan学+‘J“‘，其中古=创上，T=砂.

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