补充资料：复合函数

复合函数
composite function

(【5])，九次代数方程的根可以写成四元代数函数的复合(代替五个变量，后者可从Tschimhauser变换直接推出).许多数学家对此作了研究(见!6]一【19)). 1954年，A.r.协m阴绷证明(t1OI)，若自然数m，n，。:以及n，满足不等式(m/n)>(m，/n.)，那么可以找到m元可微函数的n重复合，它不能写成ml元可微函数的nl重复合.特别地，对每个n，可以找到具有预先指定的光滑度的n元函数，它不可能是较少个自变量且具有同样光滑度的函数的复合.从这个意义说，在任意个自变量的光滑函数中，存在着与所有自变量均实质依赖的函数. A.H.K~ro加B于1956年证明([111)了，定义在n维方体(n)4)上的任意连续函数，都是三元连续函数的复合.之后，V .1.Arnof’d将自变量的个数三降至二.事实上，他证明(【12』)了，方体上的三元连续函数均可写成二元连续函数的复合(更精确地，甚至可写成九个函数之和，其中每一个都是二元连续函数的复合).因此，n维(n)3)方体上的连续函数都可以表示为二元连续函数的复合.这就是对Hilbert关于方程(*)的根不能用二元连续函数的复合来表示这一猜想的最后的否定.KO刀MoropoB和户Jnof’d的论文，特别地，给出了关于任意次方程的根，用至多两个变量的连续函数的复合的表示问题的正面答案.对于解析函数以及代数函数的复合，相应问题尚未解决.现在(1987)尚不清楚，方程(*)的根是否为解析函数的复合. 上述一系列论文可用以下的KoJIMoropoB定理(Kolmo即rov tneorem)(【13])作为最后的总结:n元连续函数都可以通过若干一元连续函数以及一个二元函数g(x，y)=x+y的复合而得到.事实上，他证明了在n维方体上连续的函数f可以写成形式 Zn十If。、 J，x”“‘’‘·’一昏力，}乡尸:，‘x‘’}，其中函数h，和叭j都是连续函数，而且矶，都是标准函数，即它们与f无关. B班rylllKHIJ(【14」)证明，对任意有限个n元连续函数p*以及连续可微函数叭(k=1，二，爪;n二1，2，…)，甚至存在n元解析函数，它们不能表示为以下形式的复25。 「习。 艺尸、o伍“叮、)， k=l其中fk为任意的一元连续函数.复合函数〔c娜脚万云te nln由on，。，贫‘圈中担粗心l 由儿个函数复合而得的函数.若函数厂的值域丫含于函数厂.、的定义域X『，内，即若 /丫一*卜、〔龙;.二!，.、，，1.则函数 了。一一了1，。)2.由 以一…厂;)(劝/，(‘一(fl仁丫)))，、一卜定义，称为f，，一厂。的厚合甲熬(印m附itc func-‘ion、或厂，·一厂。

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。