补充资料：落体运动

    　　物体在地球重力和介质（水、空气等）阻力作用下无初速地沿铅垂线降落的运动。在物理学史上，人们对落体运动的认识，经历过较长期的争论。16世纪以前的学者对各种物体下落的快慢有不同的观点。希腊哲学家亚里士多德曾错误地认为，物体越重下落越快，而且认为不考虑空气阻力时也是这样。伽利略在1604年否定了上述观点,指出物体下落的高度与时间的平方成正比,而与重量无关，即落体运动是匀加速的；通常看到不同物体下落之所以有快慢，并不是由于重量不同，而是由于空气阻力。伽利略用实验证实了他的理论。他所引进的加速度概念和他所发现的匀加速运动规律促进了动力学的重大发展。
　　
　　介质阻力 　介质的阻力决定于介质的物理性质、物体运动的速度和物体的形状和尺寸。如果物体的尺寸很小,速度也很小（例如小于每秒24米）,则可设阻力与速度成正比；这个定律对极缓慢的运动是足够准确的。但在物体尺寸和运动速度的很大范围内，可认为阻力与速度的平方成正比；现代流体力学的理论和实验都证明了这个定律。如果运动的速度接近声速，则阻力的增大比速度的平方还快。如果速度再增加，阻力变化的规律就更为复杂。与阻力有关的数据须通过实验及理论研究得到。
　　
　　①阻力与速度成正比　设小物体Q(见图) 在静止液体中从静止开始下沉，液体阻力的大小与物体的速度成正比，比例系数为μ。μ 的数值与液体的性质、物体的形状有关。设阻力R＝-μ，则物体的运动微分方程为：
　　
　　
　　
　　
　　 ，式中g为重力加速度;为R在铅垂轴x上的投影。积分一次，代入初始条件：t=0，v₀=0，得到物体Q下沉速度的表示式：
　　
　　
　　
　　 。令，然后积分上式，代入初始条件：t=0，x₀=0，得到物体Q的运动规律：
　　
　　
　　　 。
　　
　　②阻力与速度的平方成正比　设阻力R＝μv²，且用记号＝v，，则物体Q的运动微分方程为：
　　
　　
　　
　　　。积分上式，代入初始条件：t=0时，v₀=0，并设，得速度表示式：
　　。令v=并积分上式，代入初始条件：t=0，x₀=0,最后得到物体Q的运动规律：
　　
　　
　　
　　　 　。
　　
　　极限速度 　物体在地球重力和介质阻力作用下铅直降落的最大速度。自由落体的加速度为g=9.80米/秒²,其速度与时间t成正比,直到与地面相碰为止。然而在有阻力的介质中运动时，例如降落伞和炸弹从飞机上降落时，空气阻力限制它们速度的增长。介质对物体的阻力可写作：
　　
　　
　　
　　
　　
　　R＝μf(v)，式中μ 同介质的密度和物体在运动方向上的投影面积成正比；f(v)为落体速度的函数，当v＝0，f(v)＝0。物体在重力和介质阻力作用下，铅直降落时的运动微分方程为：
　　
　　
　　
　　
　　　 。从上式看到，如运动开始时速度为零(阻力等于零)，则物体的加速度等于g；此后有了速度即出现阻力,因而加速度减小。但由于速度的增长，阻力也在增长，因而物体的加速度愈来愈小，即速度的增长愈来愈慢。当速度增加到使阻力等于重力，即
　　
　　
　　
　　
　　　mg－μf(v)＝0时，物体的加速度等于零。此时，速度达到极限值。从上式解出的速度v^＊就称为极限速度。此后落体即以极限速度v^＊匀速降落。
　　
　　如果R＝μv，得到极限速度
　　
　　
　　
　　
　　
　　v^＊＝mg/μ。如果R＝μv²,例如降落伞降落时所受的阻力，得到极限速度
　　
　　
　　
　　
　　 。
　　
　　极限速度也可对落体的速度表示式取极限而得到。
　　
　　自由落体运动 　阻力可以忽略的落体运动。这种情况下，落体只在重力作用下运动，其加速度为g。g的数值由实验求出，一般取为9.80米/秒²。
　　
　　自由落体的运动微分方程为m=mg。通过积分并代入初始条件：t=0,x₀=0，v₀=0，可得到自由落体运动的三个公式：
　　
　　　式中v和h分别为任一时刻物体的下落速度和下降高度。
　　

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