不定方程式
indeterminate equation
未知数个数多于方程个数,且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程。研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说:“鸡翁一,直钱五,鸡母一,直钱三,鸡雏三,直钱一。百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何?”。设x,y,z分别表鸡翁、母、雏的个数,则此问题即为不定方程组的非负整数解x,y,z,这是一个三元不定方程组问题。
二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c.其中 a,b,c是整数,ab≠0.此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c.若a、b互素,即它们的最大公约数为1,(x0,y0)是所给方程的一个解,则此方程的解可表为{(x=x0+bt,y=y0-ct)|t为任意整数}。
s(≥2)元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1,…,as,n为整数,且a1…as≠0.此方程有整数解的充分必要条件是a1,…,as的最大公约数整除n.一类特殊的二次不定方程是x2+y2=z2,其正整数解称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数,中国《周髀算经》中有“勾广三,股修四,经隅五”之说,已经知道(3,4,5)是一个解。刘徽在注《九章算术》中又给出了(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29)几组勾股数。它的全部正整数解已在16世纪前得到。另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2-dy2=1,d是非平方的正整数。利用连分数理论知此方程永远有解。
对高于二次的不定方程,相当复杂。当n>2时,xn+yn=zn没有不等于零的整数解,即著名的费马大定理,历经3个世纪,已由英国数学家安德鲁·维尔斯证明完全可以成立。