补充资料：测度

测度
measure

　　川是可分的，非原子的，且以X)=l，则它同构于空间n:。，(u，，沙.，“‘)，I为可数集，后者原来同构于带有此比gue测度的单位区间. 随着作为一集合的子集上函数的测度论的发展，作为Boo】e环(或Boo晓代数(氏d份n al罗b份))的元上函数的测度论已经发展起来;在许多方面两者是平行的.测度的另一通行构造要追溯到W.Young与P .Daniell(见【121).取值于实数或复数的测度论或取值于某个代数结构的测度论已有发展，它们是对正测度论的补充.【补注】标题“测度空间的性质”下所列性质l)与2)通常称为Fatou引理(Fatou len加a)，见Rtou定理(Fatou theorern). 标题“测度的扩张”下所述的测度的扩张办法属于C，CaraUI幻do甲，并且与术语C姗th改对ory扩张定理(Ca拍山胡ory exte璐lon tl卫幻二)与C娜th玫劝。巧外(内)测度(C田旧山人心奶尹叫把r(川ncr)兀目巧眠〕(见Ca份胶砧叮测度(Caz习t肋dory力1当”眼))一起，人们常谈到Ca份tha刃。叮扩张(CaJ旧山如面口ex-记璐ion).回忆由集合X的子集A所成的环(相应地，口环)了，满足A任.丫蕴含X\A曰/，称为且x，1e代数(Bo01eallal罗bm)或代数(al罗bra)(相应地，a代数(。刊罗bra)或。域(。币cld)，亦见集代数(司罗bra ofsets)).通常在测度空间(X，夕，拜)中叮环夕可被证明是一个。域(特别当召(X)<的时此事实成立). 术语“全。有限”很少使用. Bo旧为了构造测度又’曾给出很好的概念，可是玩b留即e是首先作为构造刃的副产品而给出又‘的满意的构造. 乘积空间也常被写成一(类)张量积:(X，x XZ，夕:⑧夕2，井:⑧井2)· 在每个有限积上有相容概率测度的一族测度空间(X‘，夕‘)‘，称为测度空间投射系(proJ‘ti记systenlof~二sPaces)，并且flx，上相应的概率测度若存在，便称为投射极限(pl钊代石记五而t)，当l为可数时，它是存在的(fo口乏cu~Tulcea定理(lon路cu-Tbk份the~)，参见[51) 假设X为拓扑空间且少为Borel叮域，则(X，少，川对每个有限测度“是完全的，如果x是Polish空间(Po丛h sPace)或更一般地是月妇业空间(LUZ如spaCe).此时(x，夕)常称为标准可测空间(stan(Jatd~UIa比sPace)，或更加一般地是qC删空间(Su-sha sPace)，(此时(X，夕)有时称为B抽Ickwell可测空间(Black忱11~ulable space))(见描述集合论(如criPti记set tbeory)的补注.) 当X为有理数空间，或更一般地，为非凡比h的再3“”空间(L也如sPace)时，n侧姚。卯日定理(Prokhorov theo肥I们)的逆是不成立的，见「All. 在抽象情形下，当(拜。)为(X，夕)上有限测度序列，这里夕为，域，使对任何A任夕， m(A)=妙群。(A)存在，则阴也称为测度(Vi加山一Hahn一Saks定理(Vit-吐一Hahn一S出the侧renl)，见〔3]或〔5]).测度〔meas帅;Mepal，集合的测度(11飞戈15眠ofaSet) 线段长度、图形面积和立体体积概念的一种推广，并直观地对应于带有质量分布的空间的集合的质量.集合的测度概念产生于实变量函数论，它与积分(访比邵川)概念的研究与改进有关. 定义与一般性质.设X为一个集合，才为X的一个子集类.定义在才上的非负(不必有限)集函数兄称为加性的(additi祀)，有限加性的(侧把珍addi-石说)或可数加性的(c。呱bly溉记iti资)，如果对于E‘“才，口犷二式〔才，E‘门E，二功(派笋j)，等式 “(如)一廖.、(:。)成立，这里n分别取2，任意有限自然数且。(的 X的一个子集族少称为集半环(义n刀~n吧ofsets)，如果 1)叻‘少; 2)￡、，EZ‘少蕴含E、门EZ〔夕: 3)E，E，任少，E:CE蕴含E可以表示为 E一O￡‘，E‘自￡，一协(‘祥z)，E‘。， 厅.吐 (i=1，…，n，n<的). X的一个子集族男称为集环(nng ofse匕)，如果 1)铃任里; 2)E:，EZ‘男蕴含E，口EZ‘夕，E八EZ‘叉. 半环的一个例子是:X“R去，少为一切形如{x一(x:，…，x*)‘R人:a，毛x‘0，”=l，2，…)满足r。~的，对一切双恒有E门Br.C乡，其中B，二{x‘R“:Ilx}l成;}.R“中一切E幻祀!集的族的势为。

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