基于朗道二级相变(也称连续相变)理论,1950年金兹堡和朗道(GL)在低于临界温度Tc附近将描绘超导电性的自由能密度Fs在外磁场中按序参量|ψ|2展开至|ψ|4项,并计及梯度项`\nabla\psi`后,对各向同性超导体有:
$F_s=F_{n0} \alpha|\psi|^2 \frac{\beta}{2}|\psi|^4$
$ \frac{1}{2m^\**}|(-i\hbar\nabla-e^\**bb{A})\psi|^2$
$ \frac{\mu_0}{2}H^2$(1)
称GL自由能密度。式中Fn0是无外磁场的正常相自由能密度,$\mu_0bb{H}=\nabla\timesbb{A}$,H为磁场强度,m*和e*分别为超导电子有效质量和有效电荷(实为库珀电子对的质量和电荷),$\hbar$为除以2π的普朗克常数,α和β是展开系数,随材料性质由实验来定。在Tc附近α(T)=-α0(1-T/Tc),α0和β是大于零的常数,对总自由能求极小,可得GL方程
$\frac{1}{2m^\**}(-i\hbar\nabla-e^\**bb{A})^2\psi$
$ \alpha\psi \beta|\psi|^2\psi=0$(2)
$\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\nabla\timesbb{A}=bb{j}_s$
$=-\frac{i\hbare^\**}{2m^\**}(\psi^\**\nabla\psi-\psi\nabla\psi^\**)$
$-\frac{e^{\**^2}}{m^\**}|\psi|^2bb{A}$(3)
和与绝缘外界接触时的边界条件:
$bb{n}*(-i\hbar\nabla-e^\**bb{A})\psi=0$(4)
(在边界上)
n为边界法向单位矢量。由于GL方程是非线性的联立方程,包含着宏观量子非线性效应,且ψ一般是r,T和H的函数,所以有广泛的应用,成为研究超导体各种宏观量子现象物理性质的有力工具,且推广到各向异性超导体上(见“各向异性GL方程”),其应用范围更加广泛。在空间中若ψ变化很缓慢,计及|ψ|2=ns,则方程(3)过渡到伦敦第二方程:js=-e*2·nsA/m*,说明伦敦方程只是在弱磁场近似中才适用。
1959年,戈尔柯夫(Gor'kov)基于BCS微观理论用格林函数方法推导出GL方程,并将ψ(r)与能隙Δ(r)联系起来(见“有序参量”),使ψ(r)又有了微观物理意义,并且唯象系数α,β也有了微观表达:
$\alpha(T)=-\frac{6(\pikT_c)^2N(0)}{7\zeta(3)n_s^\**(0)}$
$\**(1-\frac{T}{T_c})$(5)
$\beta=-\frac{6(\pikT_c)^2N(0)}{7\zeta(3)n_s^{\**^2}(0)}$(6)
1998年,徐龙道等基于BCS理论给出了宽广适用温区的、用微观量和温度具体表达无穷项展式各系数的完整的各向异性(也包括各向同性)GL方程(见“各向异性GL方程”)。