补充资料：线性算子的谱分解

线性算子的谱分解
spectral decomposition of a linear operator

线性算子的谱分解吮暇喇decomp佣i“佣of a linear叩erator;cneKTPa几I.ltoe Pa3几0搜e”一e月I.He幼ItoroonePaTOPa] 一个线性算子的关于谱测度(spectral此asure)(谱分解(spect司~加石。n))的一个积分形式的表示.对Hilbert空间H上任何自伴算子(留甘一adjointOPerator)T有一个谱分解尸(·)，使得 :一f。、，(。).这是指对所有x任D:，yeH，·:一{一戈艺ZJ(·(亡)一)一}， (:、，，)一丁:“(尸(:)二，，).一个自伴算子T的谱分解可以从它的预解式(resolv-ent)R(又，T)(在连续点)由公式 P(b)一P(a)= 石一石_limlim拱{(;(、一‘。，:)一;(*十‘。，:))己、一厂。二乙2冗i。味。、一“’一’一’一、‘“一’一产产一’-计算.从对自伴算子的谱分解定理推出算子可用乘法算子来实现，且存在Box℃1函数上的函数演算. 利用自伴算子的谱分解和扩张到较大空间的理论(见[2])，可得到对称算子(s”nITletrie operator)用广义谱分解的积分表示.等距算子(i sornetric OPera-tor)的积分表示按相似方式来构造.以自伴和酉算子的谱分解为一方，以对称和等距算子的积分表示为另一方，其中的类似是远不完全的(由于没有广义谱分解的唯一性，没有积分的强收敛性。函数演算的比较狭窄性，等等). 对Hilbert空间H上任何有界正规算子(normaloperator)T有一个自伴谱测度E(·)，在复平面的Borel子集的。代数上按强算子拓扑是可数加性的，巨使得 :一丁::(J:)， C其中s叩pE(·)=。(T)(T的谱)(见算子的谱(speetruxn of ano钾rator))，TE(“)=E(“)T，且武Tl:闭，)C瓦把这定理重新表述如下是方便的:每个有界正规算子酉等价于用空间LZ(S，艺，料)中某个本质有界函数相乘的算子，其中#可选取为一个有限测度如果空间是可分的. 从这谱分解定理推出有对正规算子的一个函数演算(加nctional caleulus)，即有一个从a(T)上本质有界BOrel函数的代数到满足条件id(T)=T的有界算子的代数中的同态f巨f(T)，且它把每一有界的逐点收敛的函数序列映射到一个强收敛算子序列中.这个同态的象(即算子T的所有函数的集合)与同T可交换的每个算子可交换的所有算子的集合一致.由于函数演算的存在性反过来蕴涵该谱分解定理，这结果可看成谱定理的一种形式.谱分解定理也可以推广到无界正规算子(见【21). 在作为正规算子特殊情况的酉算子的谱分解的情形，其谱测度是给定在单位圆周上.一个酉算子的谱分解有时写成形式 2皿 u一丁。!白己:(。)， 0其中E(·)是集中在区间【o，2司上的谱分解.这样，谱分解使得可以把一个酉算子表成形式exp(iA)，其中A是一个自伴算子.这个结果被Stone定理(Stonetheoreln)所推广:每一个酉算子的强连续单参数群可写成形式 U(t)=exP 1 tA，其中A是自伴(可能无界)算子.

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