补充资料：解析函数论的边值问题

解析函数论的边值问题
oundary value problems of analytic function theory'

解析函数论的边值问题tb佣nda。耐ue Pn角lemsof明al师cfu。川阅山e卿;r训妞内肠配艾叨a.’r曰湘洲.a日压IH-川，以，困陇中洲叼硒， 由个给定的函数的实部和虚部的边界值的关系去寻找某个域内的解析函数的问题.B.Riemann于1857年首先提出此问题([11).D Hilbert研究的边值卜;J题‘[21)‘，丁叙述如下(Rlem:，nn一比lbertt下习题(Rxcmann一Hilbe;t problem)):求函数小(:)二，、十i。、它在以围线L为边界的单连通域S牛内解析.目在S‘日L上连续，满足边界条件 R《a十伟)小=“u一去.:c、(l)其中a，为和〔是石丈卜给定的炙值连续函数.为r给出奇异积分方程的应用的例子，Hi飞bert首先将上述边了百问题化归为一奇异积分方程. 问题(l)能化一!为相继求解两个Dlrlch】et问题.在!3]中能找到用此方法于这个问题的完整研究. H.Poinore州41)在发展潮汐的数学理论中所遇到的问题类似于问题(l).P创n以r‘问题(Poln以reProblem)是由域万于的边界I胜的F述条件确定此域内的调和函数u(一、，劝: d“_、O“，、 翅(s)竿~‘B(，)书井十〔(s)，、二/(、).‘2、 一’一‘a月一’己s、‘“’、一，其中月仆).B仆)，((、)和厂如)是Ll给定的实函数、是弧坐标，。为L的法向量 丁义的Riemann一Hilbert一Poincar已问题(Rie-mann一H，lbert一Po一n以re problern)是下述线性边值问题:由边界条件 R。{，巾}一八t阵‘.5‘(3)挤求S十内的解析函数小(:)，其中，是由下述公式定义的积分一微分算于-又，一客，份/‘Z。渺)‘Z，1叮“，‘了(了刚’‘了，故其中毯(t.)，…，u，(t)足(通常是复低的)定义在L}的子I类函数(即满足州之31der条f牛)、厂(，)是给定的H类实值函数，人饥，t)是(通常为女f直)I}_其有下述形式的函数 斌，仃L曰 气“)，‘’一}士万石}‘，毛“<’·其中h伙叭、‘l)是两个变量的厅类函数.(引式了!边的表达式创，‘(人、)了解为巾少)的/次导数从S‘的内部趋f去的边界程(. 当。，·0，h认、，t)=0时，这‘特殊的R树m;mn-Hilbert一Po一n以r已加1题即是Riemann一Hllberz卜l]题;Poln以re问题也是同一问题的一个特殊情形，{岌多重要的边值问题一一诸如两个独认变量的椭圆型偏微分方程的边值问题-一rJl化lJJ为Rlemalln一晰11)er卜Po;n以re问题. 对于u用(t)笋()(t，已主‘)的R lemann一卜行11)ert-Po，n以rel二]题由H HBe聊(!3」)提出并解决‘ 边值卜，}题的指数(index of ab()undar、、alueProb}em)的概念在边值问题的理论中起着重要的作用.指数是山下述公式定义的整数 ‘2(片，斗n)其中2二，足沿工走过并保持s在其左边时arg灭石)的增量. R一emann一Hilbert一P(〕In以re问题可化lJ刁为卜歹11形式的奇异积分方程: N三A(‘。))洲‘()+jN(‘。、‘)川‘)汉，一(5) ， 了了l、、)、a(I)，其中户是H类的未知实值函数，〔」是待定常数，!1 K fz‘，.1) N(t七，z)·一二一 11飞函数峨。{。)，N(t(〕，若)和。(t)能由u(t)和h认，，了)(j一0，二，川)表出. 令k和人’分别是相对于(5)的齐次积分方程戈二0和相连的齐次积分方程 刀，三、(，、))城，、))+fN(，、，()一城，)山二0‘;、) 去的线任无关解的个数，数k和左’与Rlemann一HI际爪-Poin以re问题的指数兀的联系由下述等式给出: K二一人一k F述情形特别有兴趣，即无沦怎样的右端厂认、)问题都是可解的.对于Riemann一Hllberl一poin公，re问题.不管怎样的右端./(暇，)，问题是可解的充要条件是k‘二0或人‘二:1.对J二后种情形方程(6)的解;(t)必须满足 j。(‘)。(‘，‘笋‘， Z而两种情形都要求K)0且齐次问题Re{又。卜o恰有、+1个线性无关的解.若。(t)=0，则Riemann一Hilbert-Poincar6问题对任意右端是可解的充要条件为k‘=0. 至于Riemann一Hilbert问题，下述命题成立:l)若‘)O，则非齐次问题(1)对任意右端是可解的;2)若‘<一2，则问题有解的充要条件是 2 丁。一/2)·。(，)·(，)己，一。，、一1，…，一l， 0其中 Q(毋)==二嘛箭丽exP{一命!口(一)cotg燮‘一}， [__。一;bl 6(t)=argl一t一“告悦釜}，a之+b‘笋0· 一。l’“+ibJ’- Riemann一Hilbert间题与所谓的线性共扼问题密切相联.设L是一光滑的或分段光滑的曲线，它构成一个闭的围线，界定复平面:=x+iy上的某个域S十，且当沿L走过时使此域在其左边，又以S一表示S千日L在:平面上的补集.给定一函数。(:)，它在曲线L的邻域处处连续，在L上可能除外.称函数小(习能从左边(或从右边)连续拓展到一点t 6L，如果当:沿任意一路径且保留在L的左边(或右边)趋于t时，小阁趋于一确定的极限中+(t)(或小一(t)). 函数中(z)称为具有跳跃的曲线L分片解析函数，如果它在S+和S一内解析且能由左边和右边连续地拓展到任一点t eL. 线性共扼问题(linear conju，tion problem)是从边值条件 巾+(t)=G(t)巾一(r)+g(r)，r任乙，确定一分片解析函数。(:)，它以L为跳跃曲线且在无穷远点为有限阶，这里G(O和g(t)是在L上给定的H类函数.当假定在L上处处有G(t)笋O时，整数 ‘一牛[arg。(，)]: 2叮“、’J“称为线性共扼问题的指数. 若。(z)=(。.，…，。。)是分片解析向量，G是nx。方阵且夕(t)=(g，，·”，g。)是向量，若由tG(t)笋o，则整数 一女【argde，‘(‘)〕:称为线性共扼问题的总指数.指数和总指数的概念在线性共扼问题理论中起着重要的作用(【5])，[61，[7」). 形式(5)的一维奇异积分方程理论建基于线性共扼问题理论之上.【补注】文中所论问题亦称哼碍回零(barrier prob-lem).在数学物理中的应用见!A6]，[A7]，[A9」和那里给出的参考文献.对此理论(矩阵情形)的一个重要贡献在【A5」中给出.其他的有关论著是【AI]，!A2]，【A3]，【A4」和【AS].在【All中提出的方法使用系统理论中的攀夺宇回(s tat““paCe)处理方式· 注意到对这些问题的各种变形所给的各种名称并不统一例如，上述线性共辘问题亦常称为Ricmann-托lbert问题(〔A9」).特别是在矩阵形式的情形，即g(t)，旷(O，中一(O全是(可逆)矩阵值函数的情形，在完全可积方程组理论中非常重要.事实上，考虑超定线性偏微分方程组(详细叙述见fA6」) 中x=u毋，毋:=v价，(AI)其中u，v考虑作复参数又的有理函数，系数依赖于x，t但极点结构不依赖于x，t，例如 U，U. U=U。十—宁’.’-t-—， al一流a。一人其中a，为常数，只有u，是x，t的函数.【AI]存在可逆矩阵解毋的充要条件是u，。满足 ::一v二+【。，v』=0，(A2)并称作Zakharov一Shabat方程组(Zakharov一Shabats”tem of equations).许多可积方程组能写为这种形式.现设毋是(A1)的解并取义平面上围线r上的函数g执).解矩阵Riemann一巧lbert问题小一中夕，一场+的(x，t)族，则少=(。一I’毋亦是(AI)的解，且它导致又可逆矩阵值函数的群在(A2)的解空间上的一个作用.这种由原来的解u，。和一函数g仅)获得新的解百=价、明lj=少「必‘的方法称为zokhor()v一shabat整形法‘Zakharov一Sha卜at dress一ng method).(u，v)一(万.万)子:H寸J丁、称作R;。mann一Hilber，变换(Rzemann-11zlbert transl又)r，;1:ltlorl).在卜1，lsteln场方程(Exn-stcln flel(l(，q、latl‘)n、)(轴对称解)的情形，类似r内一种方法名为卜Jauscr一Erl飞st变换(Hauser一卜rn、ttransformatlon)戈Klnnersley一(’hitre变换(K，nner-sley一Chitre tr之五11slbrn飞atlon、)，工卜11了}此情形相关的群(的一个广群)称作Geroch群(Gerochgr、)up)(IAI()])Rlemar:n单值l司题(Rlcman，1 monod，‘omvPr(，b lem)是子求，l个多值函数川劝=(少，(劝，4·、戈(劝)在‘=‘标‘’·认一丈气“外处处正则，使得当沿着仪包含卜述诸点的一个妇、的围线解析j}拓时，少以)“玺为f{以劝”，二()一.、、与取围线通过味:a。和在它l-的个适当的阶梯丽数时，此问题化为Riemann一Hil-比rtl份:l题.R一e:，:，nn‘丫，f广t{乍;!题术质![片丁Plem(:IJ({八l卜，〔，l〕.!，，一时1()汀(冲、12{和「.气 .1、I)I为l如，、1 Icvsky({A13})’{，解子丸.

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。