补充资料：BMO 空间

    　　有界平均振动空间的简称。这是 1961年由 ??.约翰和L.尼伦伯格在研究椭圆型偏微分方程的解时所引进的一类函数空间。 它包含着空间L^∞（Rⁿ）,又是哈代空间H¹（Rⁿ）的对偶空间 （见^p 空间&dbname=ecph&einfoclass=item">H^p 空间）。设??（x）为定义于Rⁿ上的局部可积函数，Q为Rⁿ中边平行坐标轴的任一立方体，│Q│为其体积,??（x）同??(x)在Q上的平均值的偏差用│??(x)-??_Q│表示, 它在Q上的平均值，叫做??(x)在Q上的平均振幅。如果??(x)满足条件
　　就称??(x)具有有界的平均振幅，并记作??∈BMO。由上述定义看出，任一Rⁿ上的有界可测函数必具有有界的平均振幅,但反之不一定成立。例如，log｜x｜属于BMO空间,但它不属于L^∞，这说明 BMO空间和L^∞有严格的包含关系。
　　
　　 BMO空间与巴拿赫空间 　对任一??∈BMO，如定义,可以证明为一准范数。事实上,当且仅当??(x)为一常数。因此,当BMO空间中的两个函数??₁和??₂相差一常数时，规定这两个函数是等同的，在这个规定之下,便成为范数,而且BMO空间为一巴拿赫空间。
　　
　　约翰－尼伦伯格不等式 　由 BMO空间的定义容易验证：如果存在两正常数A和α,使得对于一切的立方体Q均满足式中左边为勒贝格测度，那么??∈BMO。约翰和尼伦伯格指出上述不等式本质上可以用来刻画BMO空间的特征。这就是存在着两正常数A和α,使得对于任一??∈BMO,立方体，以及α>0，成立不等式
　　
　　费弗曼－施坦分解 另一个涉及BMO空间构造特征是由 C.L.费弗曼和 E.M.施坦给出的：??∈BMO当且仅当??=u+堝，此处u,υ∈L^∞,堝为υ的希尔伯特变换。这个事实表明,判断一个函数是否属于BMO空间，可以纯粹用调和分析的语言来表述与刻画。因此，这个事实也就成为揭示BMO空间和调和分析之间内在关系的纽带,并且这方面的进一步研究成为当代调和分析的重要研究课题之一。
　　
　　费弗曼－施坦定理 　关于BMO空间的研究,特别要提出费弗曼和施坦的下述结果:哈代空间H¹(Rⁿ)的对偶空间为BMO空间，记作。可以说，由于这个事实的发现，BMO空间便成为调和分析的重要角色。
　　
　　应用 　由于BMO空间是H¹的对偶空间,因此许多涉及H¹的问题通过这个对偶关系可以用 BMO空间的性质去处理，于是BMO空间就成为研究 H¹许多问题的一个新工具。例如，研究算子T从H¹到L¹的有界性，要建立不等式
　　 (*)由以及关系式
　　可知：。于是，为使关系式(*)成立，只须证明。这就把研究算子从H¹到L¹的有界性问题转化为研究其共轭算子慘从L^∞到BMO空间的有界性问题了。另一个应用是，BMO空间在许多调和分析问题的研究中,可以成为空间L^∞的合适代替。例如,傅里叶分析中的许多古典的算子T具有从L^p到L^p的有界性(1<∞)，也就是说不等式成立。但当p=∞时,结论却不成立。其原因是由于当??∈L∞时,经过算子T作用后的像T??不一定在L∞内。包含关系使人们想到，映像T??虽不在L^∞内，但有可能在BMO空间内,如果这是正确的话,说明算子T有可能具有从L^∞到BMO空间的有界性。例如希尔伯特变换H虽不满足 ,但成立着。因此，当算子T并不具有从L^∞到L^∞的有界性时,可以考虑T是否具有从L^∞到BMO空间的有界性。在这种意义下,BMO空间起到了代替L^∞的作用。
　　

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。