补充资料：函数逼近，线性方法

函数逼近，线性方法
pproximation of functions, Mnear methods

　　函数通近，线性方法【即pro劝ma柱佣of如口比此，Unearmethds;即面.橄...中伸叫浦月.州白.eM曰’O周曰!甲的-习..‘。侧.1由线性算子所定义的逼近方法.如果在赋范线性空间X中将线性流形(线性子空间)选作逼近集，则任何将函数f任X变换成函数U汀，t)=(Uf)(t)‘灾且满足’一U(。:f，+。2f2，r)=。IU汀，，t)+aZU价，r)(其中“1和气为任意数)的线性算子U均定义了灾中函数对X中函数的一种线性逼近方法(1i ncar approxi-mation method).一个线性逼近方法称为是射影的(P rojeCtive)如果对所有fe贝，U以t)=f(O;称为是正的(户犯itive)，如果对非负函数f有U(f，r))0. 最有意思的是有限维数的情形.此时，若贝二贝、是N维子空间，则有 八 U以‘)=饰以，)=艺e*汀)叭(，)，(1) k二1其中{叭(t)}犷是灾、的基底，吼为定义在X上的线性泛函.线性无关系{叭(t)}犷和泛函集{q}仁的选取依赖于构造线性方法时所用函数的有关信息.如果几们二了仇)(这里{气片是f的定义域中的固定点组玉且叭(t.卜0，(i笋k)，叭(tk)=1，则U从工气)=f(t*)伍=1，…，扔，此时得到一种插值方法(interpolation method)(如，Lag-ran罗插值多项式或播值样条(interpolation spline)).如果X=H是托lbert空间，吼汀)为函数f关于标准正交系{叭(t)}的Fourier系数，则(1)的右端的和式导致了X到贝N上的正交投影线性方法(li near methodoforthogonal Projection);此时， ，，介饰汀，”一萝…卜詹:一……。因此，可用函数叭的线性组合对f作最佳逼近. 线性逼近方法的理论中最引人注目的是收敛问题.令x为一Banach空间，{甲:(t)，中2(t)，…}是X上某个线性无关函数系，令灾N为这个系的前N(N=1，2，…个元素形成的子空间，叽为X到贝八N二1，2，…上的有界线性算子.对任何f‘X，收敛关系式珠以O~f(t)(在11叽一fllx~0(N~的)的意义下)成立，当且仅当:l)U、的范数列11叭}}有界，见B田.山-Stei曲aus定理(Banach一Steinhaus theorem):2)对于X中处处稠密的集合A上的所有函数f有认以t)一f(O.特别地，在周期为27r的函数空间乌=乌[0，2司(l　　

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