补充资料：集合的变分

集合的变分
variation of a set

集合的变分[var加石佣or a set;。ap一a。“，Moo袱ee-T.aJ 表征n维Euclid空间中一个集合的k维容度的数值.有界闭集E的零变分叭，(E)是该集合的分量数. 在最简单的平面情形，一个集合E的线性变分(haear variation of a set)(即E的一阶变分)是函数 。(:，:)一丁:.，(:门n户:)、: n的积分 2兀 。，(:)一。丁。(:，:)比二， O其中n。是过坐标原点的直线，“是n。与给定轴之交角，n户:是n。上点:处的垂直线，规范化常数C的选择是使一个区间E的变分V，(E)等于它的长度.对于十分简单的集合，例如可求长曲线，其变分就是它的长度(lellgl」1).对具有可求长边界r的闭域E，其线性变分V，(E)等于r长度的一半;E的第二变分(即E的二阶变分)是E的二维测度，且V*(E)二0，人>2 在儿维EuClid空间中，有界闭集E的k=O，…，凡阶变分V*(E)(variationV*(E)of order)是，￡与空间O公(R”中所有(n一k)维平面)中(n一k)维平面口的截口的零变分关于Haar测度(Haar~-sure)d拜，的积分 :*(:)一了、。(:。，)己。，; 。又这里，规范化条件为:对k维单位方体J、，其变分V*(J*)=1. 变分V。(E)恒同于集合E的n维玩besg此测度(玩besgue measure).对于凸体，其集合之变分(适当规范化)恒同于Minkowski的混合容积(见混合体积理论(献ed一铂lufrr胶ory))([4]). 集合变分的性质(pro讲rties or阮var‘tions ofa set):1)EC=R”C=R’‘的变分与对EC=R”和EC=r‘所计算的有相同的容积. 2)一个集合的变分可归纳地表达为公式[补注]亦见容度(content)和函数的变差(variationof a funetion).周民强译J:.(:。刀)叮。。一。(。，、，，)F**，(:)，、+‘、n，‘泣之其中c(n，k，f)是规范化常数. 3)V‘(E)二o蕴含V，+，(E)=0. 4)在一定意义下，一个集合的各种变分是互不相关的，即对任一数列a。，…，a。，其中“。是正整数，0一般情况，是 V‘(E，日EZ)簇V.(E:)+V，(EZ). 对i=0，…，n一1，变分V:不是单调的，即对E，。EZ，有可能使得V，(E:)

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