补充资料：复变函数论中的不适定问题

复变函数论中的不适定问题
-posed problems in complex function theory

复变函数论中的不适定问题【扭，坦川pro场印朽in~-训e、加“币佣小的叮;HeK0ppe。。e3扭口a叼u Teop，。中，·K”“汤KoMn邢Ke“oro nePeMeHH0ro」 原指微分方程的具有一类与加Place方程的Cauchy问题相似的不稳定性的(Iladan笼叮d不适定(Ha山zn祖rd诅一伪刘))问题(见不适定问题(诅~p仍司p功ble此)).对于这种类型的问题，可以构造Ha山叨阻d例子(Ha-血扛以记examPle):对于数据及任意有限个导数的任意小的改变，解都有相应的有限的改变(见汇21，fs〕).现在，术语“不适定问题”的含义相当广泛(见〔1〕，【6」). 单变量函数论中的解析开拓(anal帅continuation)问题在Hadi川忍rd的意义下是不适定的.对于这样的函数，问题的一般形式叙述如下.给定复平面里的一个区域D和D的闭包里的两石嗓合A与B二A C= BC=D.在A上给定一个解析函数f(:)，它在D内是正则的.要求在B上确定f(约.关于f(约，除了在D内的正则性外，还可以附加一些信息，例如， }f(:)}簇C，:6万，(*)其中C是一个给定的常数. 经典的解析开拓问题是二1)A是区域D的一个子区域;2)A是D的边界r的一部分;假定r是(逐段)连续可微的闭曲线，r=rtUrZ，A“r.;或3)A是一个在D内有极限点的集合. 上述问题的一些唯一性定理是在19世纪证明的.(它们可以在复变函数论的教科书中找到.)问题2)等价于U内邝方程(加沙ce叫uaUon)的Ca的y问题(Ca以为y prob七m). 关于类型l)和2)的解析开拓问题的稳定性估计称为三常数定理(比化e一constantsth印ren招)(在条件(*)下，用数据的改变来表示问题的解的改变的估计).解析开拓问题是线性的，线性不适定间题的一般的正则化方法适用于它们(见131，「6」).对于问题2)，基于Carlernan函数的构造，一些特殊的正则化方法已经建立(见【31). 解析开拓问题与广泛的应用问题相联系.常常由一些物理定律得知，许多物理场都是某些变量的解析函数.要求从这个场在某一个集合上的数值(测量是在这个集合上进行的)出发在一个更大的集合上确定这个场.以下列出一些这样的应用问题. 1.根据地球的引力场和磁场在地球表面的数值，确定地球表面上方的这个场的问题.这个问题被用于勘探有用矿产的储量. 2根据理想流体的流动的位势或恒定电流滤波在某个物体部分表面上的数值，确定物体内部这个流动或位势的间题(见〔41). 3.根据一个具有紧支集的函数的Founer变换在一个有限区间上的数值，确定这个函数的问题. 从应用的观点看，根据一个解析函数在有限集上的数值来确定这个函数的问题是相当重要的.这个问题的解不是唯一的.但是，倘若这个集合在某种意义下接近于一个唯一性集(见解析函数的唯一性(画-queness Pro伴欣5 of an司yticfu刊沈ions))，那么一个有小误差的近似解是可能的. 对于多复变量的函数，既有适定的解析开拓问题，又有不适定的解析开拓问题.对于从正则性区域内部的一些集合的解析开拓问题，熟知有下述结果:一个集合成为唯一性集的充分必要条件是，它不是有限个解析流形的并.

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