补充资料：流形M上的向量场

流形M上的向量场
vector field on a manifold

其中D‘是对于x‘的偏导数.注意心‘(p)=(Xx‘)(p):刃了称为厂在方向X上的导数. 例3对于坐标卡U和了6F，向量场 一a__。己 X二艺亡’去一和Y二乞叮‘去一 州’刁丫”一份‘刁丫的交换子(Lie括弧)【X，划定义为(【X，Y If)(尸)=(X(Yf))(夕)一(Y(万夕))(尸) 二「卜*。。，*。亡门盯{ =乙1犷福于r一叮凡坛于了}借汽-}. 拭L”似“‘’似“」旅‘!，’它适合以下的关系式 IX，Y」=一【Y，X」， 【【X，Y」，21+【〔Y，Z」，X」+【【Z，X」，Yl=0;特别是 「a日1 l一.—l二0. L日x‘’刁x，」 每一个向量场X都在M上诱导出一个局部流—即在邻域U中的一族微分同胚 小:(一。，+。)xU~M，使得对于p〔U有。(0，p)二p以及 。(t，尹)二。，(t):(一“，。)~M是向量场X的过p的积分曲线，即 。·f李1(:)一x(。(:，，))， L日t」、‘其中中‘(刁胭t)(t)是M在。，(t)处的切向量d。，(t).反之，对任意局部流。(t，P)一。:(P)都相应有一向量场x，而为映射。。(川的变分;这里 ，、二，、，_、_:_f(小:(P))一f(P) (xf)(P)一从一· 每个向量场都定义了义型张量场的琉导子Lx(又的无穷小变换)，其值在一向量空间中，而相应于局部流小(t，川;其特例包括向量场在f〔F上的作用: Lxf二Xf，以及Lie括弧 y一中{Y中. L二Y一[x，Y1一夙二一份一一个无奇点的向量场在M上生成一个可积的一维微分方程组以及与之相联系的P反If方程组(Pfaff认ns够-t曰m). 流形上的向量场概念的推广有沿映射杯N~M的向量场(二tor fie】d along a mapp毗)，即丛由毋诱导的:，(N)的截面，还有之型的张量场，即用函子又作出的与:(M)相关的丛双:1之截面.L手卜汪】 【Al】Klingellbe嗯，W.，Rjen祖二an geomet钾，de GI刀只“， 19发(译自德文).流形M上的向量场，￡加r五dd佣am印山议d;Be姗-p“oe no爬“aM“oro06pa3似」 切丛(ta卿nt bundle):(M)的截面.可微向量场的集合构成M上可微函数环F上的模. 例1对于流形M上的坐标卡U可以定义第i个基本向量场己/日丫如下: 刁、己l 花二;(P)=下一了}，PeU， 。

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