补充资料：超限直径

超限直径
transfinite diameter

　　【补注】外半径(outer radius)是超限直径的另一术语.关于RZ或R”中的超限直径，Rd肠n常数(Robineonstant)及容量(eaPacity)之间的关系可见[AI」. 超限直径的概念在多复变中亦有重要意义，如果以正确的方式解释如下:取【a，b]二}a一bl，(l)是Vandermond行列式的一个根: J‘:、一r max.:。二(一、}、2‘一，， 、x、了，少eE‘/其中 V(;‘·，)一det[x川端，一:几一!·在C门中，设。.，…，。m，是次数(刀的单项式有序系，x间是E’·C=c“·中一点.则v(x(时)定义为det Ie，(义，)」，x”=(%，，‘”，x，。)，d，(E)=(~*ll)。:爪·叫尸”)))’/degF(x‘与.相关的容量为一相伴于复Monge一AmP己re算子的量.超限直径【trans6llite由all祀ter;Tpaoe中“HoT“。亚江“a-MeTP〕，紧集的 复平面内紧集E的特征d二d(E)，它为该集的容最(capacity)提供了几何解释.设E是:平面内一无限紧集.则称量 以一。:)一Jmax口::L:飞飞2“·‘一。J t·‘，二‘，‘“(“·j n=2，3，·‘·(l)为五的n阶直径(n一thdiameter)，其中【a，月=}a一川是a与b之间的EUClid距离.特别，dZ(E)就是E的Euclid直径.E中使(l)式右端达到最大值的点:。，;，…，:。，。称为E的Fekete点组(Rketepoillts)(或Vallderlllollde结点组(Valldellll阴dcno-des)).量d。(E)的序列非增:d”+，(E)簇d。(￡)，”=2，3，…，故存在如下极限: 。叭d。(E)一d(幻.量d(E)亦称为E的超限直径(tr呱俪te di山r巳ter).若E是有限集，则有d(E)二0.超限直径d(E)，He6。山eB常数:(石)与容量e(E)相等: d(E)“T(E)‘C(E). 集合E的超限直径具有如下性质:l)若E t CE，则d(E;)簇d(E);2)若。是固定的复数，EI二{w:‘，二az，:‘E}，则d(E、)=}a}d(E);3)若万‘是同E的距离至多为￡的那些点组成的集合，则腼峨_。己(E，)二过(E):4)若E‘是由方程 Q(z)二:人十“1:“一’十…十a*二w的根组成的集合，其中Q(:)是给定的多项式，w取遍整个E，则d(E‘)二{d(E)}’“.圆周的超限直径等于它的半径;线段的超限直径等于它的长度的四分之一 设石是有界连续统，D是E关于扩充平面的余集的包含点叨的分支.则E的超限直径等于D的(关十笑的)共形半径(见共形半径(conforn飞d ra-dius)). 对于双曲及椭圆平面中的集合，相应的概念定义如下.作为双曲平面的一个模型，考虑圆盘{川<1，其度量由线元素ds，=!d:}/(1一}:}2)确定，且假定石是}:}<1内的无限闭集.则E的n阶双曲直径(，，一thl，yPer比lic di~ter)d。，，，(E)由(1)式定义，但其中 }a一b} 丁a .bl=】-止二一-二几-}(2) }l一万b{是a与b之间的双曲伪距离(h邓erbolic Pseudo一dis-tanee)，即[a，b]=tanh户*(a，b)，其中p、(a，b)是{:】<1中“与b之间的双曲距离(见双曲度量(呵perbolic毗tric)).如同Euclid的情形，序列口，，(E)非增且存在如下极限: 。叭d.，，(习一d*(幻.称其为￡的双曲超限直径(h邓erbe五c trdns俪te dia-1lleter).模仿用万平面的点之间的Euclid距离定义Llc6。，lljeB常数;(E)与容量C(E)，用}:}　　

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