补充资料：度量熵

度量熵
metric entropy

　　度盆摘[功州时c曰加讨;，。，on，:Me，，，eeKaal，动力系统的 遍历理论(ergl川ic theory)中最重要的不变量之一1刘比59暇空间(玩besgUe space)(X，料)的自同态S(见度t同构(n犯州cis~印hism))的嫡h(S)概念是基本的.对任何有限可测分解(能留附blede-eolllp韶ition)(可测分划(rneas附ble Partjtion))七，极限 h(S，;卜。呱青二(;:)， 看;=尝VS一’七V…VS一”+’古(七在单位时间关于S的嫡)恒存在，这里H(匀为古的嫡(见可测分解的嫡(entropy of a meas切rablede-comP仍ition”，并且七V叮是以七与叮的元素的交为元素的分划.(此定义可逐字转移到H(妇<田的氛据其他方法h(S，豹可以对任何可测的心定义.)嫡h(S)定义为h(S，古)关于一切可能的有限可测的否的最小上界(它可能为的;利用对H(幻<的的一切七或一切可测的亡能产生同样的炳). 原先由A.H.K~orolx犯定义的嫡有所不同(见11」);上面所给的样式来得晚些(见【2]).在Le廿乏gue空间的非周期自同构(aperiodicaut。比lorp卜ism)的基本情形下，两种定义是完全等价的(【3」). 我们有h(S”)=nh(S)，并且若S为自同构，则h(S一’)=h(S).因此，瀑布(caseade){S”}的嫡自然取为h(S).对于可测流(1们￡笼‘姗bleflow){S‘}有h(S。)一Itlh(S】).因此，流的嫡自然取为h(51).对具有不变测度的其他变换群的嫡的定义是有所不同的(它不化为群中单一变换的嫡;见【51，【6]).关于无限不变测度情形有嫡的某些变形(【71);另一个变形是A嫡(A~elltr0Py)(这里A={k。}为自然数的减小序列)，它是将妮换为S一七，古V…丫S一“·七且将lim换为11而而得到的(见【8」). 嫡是动力系统的一个度量同构不变量，并且与早先知道的与动力系统的谱(s户沈饥皿of ad”amicals”-tem)有关的一些不变量有根本的不同.特别，利用玫n.川五自同构(欣mo画automorp地m)(见【11)的嫡，首先建立了:具有同样连续谱(与离散谱情形相对比)的非同构遍历系统存在.在更广的设置下嫡的作用关连着在遍历理论中产生的新动向即动力系统的嫡理论(eniroPy theory)这一事实(见【3]，「4]与遍历理论(ergodic thcory)). 嫡给人们提供一个工具去刻画小测度集的混合(m以川g)速率(更确切说，构成分划的那些集的族).与“整体”作用一起，嫡也扮演“局部”作用，这就是B~遍历定理(Breilnalle粤劝c阮~(信息论中个别遍历定理):对遍历S与几乎所有x有 斋.，09。(e;;(x))一。(s，;)对。一，，其中C，(X)为含有x的分划叮的元而对数取与H的定义中相同的底(见【刘，【4]).(Brehaa们定理对满足H(勃<的的咨是真的(〔10])，但一般说，对满足H(匀=的的可数的亡不真(f川);有关于非遍历S的变量(见【4」，【12」)与无限的拼(【131).对某些一般类变换群，依l、意义的收敛性的较弱论断，已被证明([6])). 关于具有光滑不变测度的光滑动力系统，已经建立嫡与变分中方程的刀.n”。.特征指数(k归punovcha叼c把比出以ponent)之间的联系(见〔14]一「16]). 术语“嫡”是根据动力系统的嫡与信息论(infor-n以tion th(”ty)、统计物理中的嫡之间的类比来解释的，这是考虑到在一些范例中这些嫡是相同的事实(例如见【4〕，【17」).与统计物理的类比是刺激人们在遍历论(甚至在非纯度量对象中以及对于拓扑动力系统(toP01ogicald势份miCal哪把m”中去引进新概念如“肠b比测度”，“拓扑压”(自由能量的类似)与其中的“变分原理”(见Y系统(Y一system);拓扑嫡(topolo户cal elltropy)的参考文献).【补注】在英语文献中A嫡用术语序列嫡(歇只优nceen七Dpy)代替.例如见〔AIJ，夸4.11.关于嫡的计算的一些有益的新近文献，见「A2].
　　

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