补充资料：模糊聚类分析

    　　涉及事物之间的模糊界限时按一定要求对事物进行分类的数学方法。聚类分析是数理统计中的一种多元分析方法，它是用数学方法定量地确定样本的亲疏关系，从而客观地划分类型。事物之间的界限，有些是确切的，有些则是模糊的。例如人群中的面貌相像程度之间的界限是模糊的，天气阴、晴之间的界限也是模糊的。当聚类涉及事物之间的模糊界限时，需运用模糊聚类分析方法。模糊聚类分析广泛应用在气象预报、地质、农业、林业等方面。通常把被聚类的事物称为样本，将被聚类的一组事物称为样本集。模糊聚类分析有两种基本方法：系统聚类法和逐步聚类法。
　　
　　系统聚类法 　系统聚类法是基于模糊等价关系的模糊聚类分析法。在经典的聚类分析方法中可用经典等价关系对样本集X进行聚类。设R是 X上的经典等价关系。对X中的两个元素x和y，若xRy或(x，y)∈R，则将x和y并为一类，否则x和y不属于同一类。
　　
　　相应地，可用X上的模糊等价关系对样本集X进行模糊聚类。设慒是X上的模糊等价关系，是慒 的隶属函数。对于任何α∈[0，1]，定义慒 的α截关系
　　
　　　S_α是X上的经典等价关系。根据S_α得到X 的一种聚类,称为在α水平上的聚类。即对于X中的任意两个元素x和y,若,则x和y属于同一类；否则x和y不属于同一类。
　　
　　应用这种方法,分类的结果与α的取值大小有关。α取值越大,分的类数越多。α小到某一值时,X中的所有样本归并为一类。这种方法的优点在于可按实际需要选取α的值，以便得到恰当的分类。
　　
　　系统聚类法的步骤如下：
　　
　　①用数字描述样本的特征。设被聚类的样本集为 X＝{x₁，...,x_n}。每个样本均有p种特征,记作x_i＝(x_i1，...，x_ip)；i＝1，2，...,n；x_ip表示描述样本x_i的第p个特征的数。　 ②规定样本之间的相似系数r_ij(0≤r_ij≤1；i，j＝1，...，n)。r_ij描述样本x_i与x_j之间的差异或相似的程度。r_ij 越接近于1,表明样本x_i与x_j之间的差异越小;r_ij 越接近于0，表明x_i与x_j之间的差异越大。r_ij可用主观评定或集体评分的方法规定，也可用公式计算，如采用夹角余弦法、最小最大法、算术平均最小法等。
　　
　　因为r_ii＝1(x_i与自身没有差异),r_ij＝r_ji(x_i与x_j之间的差异等同于x_j与x_i之间的差异),所以由r_ij(i，j＝1，...，n)可得X上的模糊相似关系：
　　
　　
　　
　　 一般，R不具备可传递性，因而R不一定是 X上的模糊等价关系。
　　
　　③运用合成运算R²＝R⋅R（或R⁴＝R²⋅R²等）求出最接近相似关系R的模糊等价关系S＝R²（或R⁴等）。若R已是模糊等价关系，则取S＝R。
　　
　　④选取适当水平α（0≤α≤1）,得到X 的一种聚类。
　　
　　逐步聚类法 　逐步聚类法是一种基于模糊划分的模糊聚类分析法。它是预先确定好待分类的样本应分成几类，然后按最优化原则进行再分类，经多次迭代直到分类比较合理为止。
　　
　　在分类过程中可认为某个样本以某一隶属度隶属于某一类，又以另一隶属度隶属于另一类。这样，样本就不是明确地属于或不属于某一类。若样本集有 n个样本要分成c类，则它的模糊划分矩阵为
　　
　　
　　
　　
　　此c×n模糊划分矩阵有下列特性：①u_ij∈[0，1]；i＝1，...，c；j＝1,...，n。②即每一样本属于各类的隶属度之和为1。③即每一类模糊子集都不是空集。
　　
　　模糊划分矩阵有无穷多个，这种模糊划分矩阵的全体称为模糊划分空间。最优分类的标准是样本与聚类中心的距离平方和最小。因为一个样本是按不同的隶属度属于各类的，所以应同时考虑它与每一类的聚类中心的距离。逐步聚类法需要反复迭代计算，计算工作量很大，要在电子计算机上进行。算出最优模糊划分矩阵后，还必须求得相应的常规划分。此时可将得到的聚类中心存在计算机中，将样本重新逐个输入，去与每个聚类中心进行比较，与哪个聚类中心最接近就属于哪一类。
　　
　　这种方法要预先知道分类数，如分类数不合理，就重新计算。这就不如运用基于模糊等价关系的系统聚类法，但可以得到聚类中心，即各类模式样本，而这往往正是所要求的。因此可用模糊等价关系所得结果作为初始分类，再通过反复迭代法求得更好的结果。
　　

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