补充资料：运动带电粒子的电磁场

    　　微观带电粒子在运动中所产生的电磁场。这个问题虽然已经超出经典电动力学的范围，但经典理论仍有一定的意义。因为在某些情况下，量子效应并不重要，经典理论的结果仍近似正确，可以在实践中直接应用（例如计算高温等离子体或加速器中粒子的辐射）；还有一些情况，量子效应虽然显著，但经典结果可按一定方式与量子理论的结果相对应；另外，通过经典理论结果与量子理论结果间的对比，可以更好地认识量子效应的特点。
　　
　　在经典理论中，通常把带电粒子当作一个线度极小的带电体,且一般不考虑它的自旋磁矩。这时一个作任意运动的带电粒子所产生的电磁势用高斯单位制可表示为
　　
　　
　　
　　此结果称为李纳-维谢尔势。式中q代表粒子的电荷,с代表真空中的光速，r代表从粒子到所讨论的场点(x,y,z)的距离,v代表粒子的速度,υ_r代表v在r方向的分量。加*号表示这些值不是取t时刻的值而是取某一较早时刻t^*时的值,这是因为电磁影响以有限速度с传播的缘故。式中的通常称为多普勒因子。
　　
　　从李纳－维谢尔势，可以计算出任意运动的带电粒子的电磁场，结果为 式中a^*代表t^*时刻粒子的加速度。E 中的第一项(以及相应的B)只和t^*时刻粒子的位置和速度有关,而与加速度无关。它在r^*大时衰减较快。此项对辐射没有贡献,代表依附于带电粒子的那一部分场,有时称为粒子的自场。在粒子静止的情况，自场就化为通常的库仑场。第二项不仅与t^*时刻粒子的位置和速度有关，还正比于粒子在t^*时刻的加速度。此项电场和磁场,E和B大小相等，而且E、B和r^*三者互相垂直。所对应的能流就在r^*方向，其数值，这表明此项代表粒子的辐射场。以上特点显示了辐射场的横波性。
　　
　　上面所述的t^*可以采用下述图解法来确定：在粒子所经历的轨道上（直到t时刻为止）取一系列的点,它们分别相应于粒子在t₁、t₂、t₃......时刻的位置，如图1所示。然后以这些点为中心，分别以с(t-t₁)、с(t-t₂)、с(t-t₃)......为半径画出一系列的球面S₁、S₂、S₃......。从电磁影响传播速度为с即可看出：粒子在t_i时刻所产生的电磁影响,到t时刻正好传到S_i面上。因此S_i面上t时刻的电磁势和场强应由t_i时刻粒子的状态所决定。于是对于球面S_i上的点来说,与t时刻相应的t^*即为t_i，r^*即为球心到该点的矢径。
　　
　　以上的讨论表明,粒子途径空间某点P时所放出的电磁波即以该点为中心向外传播，粒子一路上放射的全部辐射场即形成一系列不同心的球面波。辐射场的能流即在球面法线方向，辐射场的E和B都与球面相切。
　　
　　对于非相对论粒子，，辐射场强可近似为　
　　
　　 　

　　表示a^*在球面上场点处的切向分量，n表示球面上场点处的法向单位矢量。非相对论粒子的辐射功率为
　　
　　
　　上式通常称为拉莫尔辐射功率公式。如果用p表示粒子对任一固定点的电偶极矩，则
　　
　　
　　
　　其中表示p对时间的两次微商,于是低速(非相对论)粒子的辐射场可表为
　　
　　
　　辐射功率为
　　
　　
　　由此可见，低速运动粒子的辐射相应于电偶极辐射。
　　
　　对于带电粒子作等速运动的简单情况,v等于常矢量v0。这时E 和B可以通过即时的r（从t时刻粒子位置到场点的距离）表示出来。结果为
　　
　　
　　
　　从上式可以看出，这时电力线仍为以粒子为中心的直线族,如图2所示。磁力线形成一个个以v0为轴的圆圈。等速运动粒子的电场与静止粒子不同之处在于，现在电力线在各方向的分布不是均匀的，它比较密集在垂直于v0的平面附近。速度愈高，密集程度愈大。
　　
　　等速带电粒子没有辐射，上述电磁场整个地随着粒子向前移动。
　　
　　对于非相对论粒子， 与1相比可以略去，这时
　　
　　
　　
　　即化为库仑电场和毕奥-萨伐尔磁场的形式。
　　
　　当速度接近于с时,电磁场差不多集中在通过带电粒子并且垂直于v0的平面上，形成为一薄片形的分布。
　　
　　关于速度很高而又有加速度的粒子的辐射，可参见轫致辐射、回旋加速器辐射和同步加速器辐射。
　　

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