1) topological dynamics
拓扑动力系统
1.
We discussed a special and significant topological dynamics 〈βN,N,σ〉 in this paper.
讨论了特殊而有意义的拓扑动力系统〈βN ,N ,σ〉 ,给出了该系统中非游荡点集的性质 ,并证明该系统中不存在周期点 ,最后利用超滤幂的定义得到了循环点和稳定点的刻
2) topological dynamic system
拓扑动力系统
1.
In this paper,the algebraic character representation of enveloping semigroup of the topological dynamic system(X,〈T_s〉_(s∈C))is established,in which X is a completely regular space and(G,+)is an infinite discrete semigroup.
本文给出了拓扑动力系统(X,〈T_s〉_s∈G)的包络半群的代数特征表示,其中 X 是完全正则空间,(G,+)是无限离散半群。
3) topological semi-dynamic system
拓扑半动力系统
1.
The concept of topological semi-dynamic system generated by continuous map f on topological space X is given,and the properties of orbit for topological semi-dynamic system are used to give the condition that period of two points is equal.
给出了拓扑空间X上的连续映射f生成的拓扑半动力系统的概念,然后利用拓扑半动力系统轨道的性质,给出了两个点的周期相同的条件。
4) Vary topological multibody dynamics
变拓扑多体系统动力学
5) system topology
系统拓扑
1.
The system topology structure is recorded adopting time-axis way at the top.
本文提出了一种新的基于TDLRtree时空数据库索引结构来表示系统拓扑结构的方法。
6) topological system
拓扑系统
1.
(Strong) T_2 separation in topological systems;
拓扑系统的(强)T_2分离性
2.
The author discussed some separations of Topological system from the view of general topology,and then showed the relation among them.
拓扑系统是目前最广泛的拓扑研究对象之一 ,它以点集拓扑空间 ,Locale的空间化 ,模糊拓扑空间与拓扑分子格为特例 。
3.
The topological system is the most widely studied object in topology at present.
拓扑系统是目前最广泛的拓扑学研究对象，它以点集拓扑空间、Locale的空间化、模糊拓扑空间与拓扑分子格为特例，用它可研究计算机程序设计语言指称语义的Domain理论。
补充资料：拓扑动力系统
又称抽象动力系统,是具有连续性质的动力系统。它是通过拓扑映射（不一定通过微分方程）来定义的。设常微分系统
(*)
的右侧函数,且满足解的惟一性条件，为n维欧几里得空间。由于S(x)与t无关,不失一般性，可设(*)的每个解φ(x,t)在整个实轴I上有定义，于是它确定了×I到的变换，满足：
① 初值条件：φ(x,0)=x;
② φ(x,t)对x，t一并连续；
③ 群的条件：即对任意x∈，任意t1，t2∈I有；
④ φ(x,t)对t可微。
为了更一般地研究问题，可以抛开常微分系统，并假设空间是一般的度量空间R。设φ(x,t)是R×I到R且满足性质①、②、③的单参数连续变换群，则所有这些变换的全体称为拓扑动力系统或抽象动力系统,记作,其中参数t代表时间。点集{φ(x,t),t∈I}称为过点x的轨线或轨道,记作φ(x,I)。仿此,称为正半轨线，为负半轨线。φ(x；为弧段。当t∈I +(半群),称为半动力系统或半流；当t∈N（整数加群）,称为离散动力系统或离散流。若φ(x,t)=x，对一切t∈I,则称点x为休止点，若φ(x，t+ω)＝φ(x,t)，对一切t∈I，其中ω>0，则称φ(x,t)为周期轨线,满足上述等式的最小正数ω，称为周期轨线的周期。
例如，下面是一个有趣的拓扑动力系统──别布托夫系统。
令勪。对于??(x)，g(x)∈勪 ,定义距离
。
对距离ρ，勪 构成完备的可分的度量空间。定义映射φ：勪×I→I 如下：
，
于是它构成一个拓扑动力系统，称为别布托夫系统，简记为。
由n个符号所组成的一切可能的双无穷序列,在上述类似的距离和轨线的定义下，组成动力系统，称为符号动力系统，它可视为的子系统。很多拓扑动力系统可嵌入成为它的子系统。
若??(x)呏с，则φ(??(x),t)是休止点；若 ??(x+ω)＝??(x)，对一切x∈I，其中ω>0，则φ(??(x)，t)是周期轨线。周期轨线在中处处稠密。另外中含有在勪中处处稠密的轨线。
极限点集及轨线分类 G.D.伯克霍夫认为，动力系统理论主要是研究各种轨线的类型及其间的关系。为了研究轨线的分类,必须了解轨线在无穷时(t→±∞)的状态。
极限点集 设：实数列。如果有，则称点y是轨线 φ(x，t)的ω-极限点，Ωx表示φ(x，t)的一切ω－极限点集。若，则称y是φ(x, t)的α－极限点，Ax表示φ(x, t)的一切α－极限点集。
不变集 设给定集合A吇R，若对一切t∈I,φ(A,t)=A，则称A是不变集。Ωx和Ax是闭的不变集。任何一条轨线是不变集，但不一定是闭集。
极小集 集合∑吇R称为极小集,若它是非空、闭的且不变;同时它没有任何真子集也具有这三条性质。显然，Σ中的每一条轨线在Σ上处处稠密。另外，在上所定义的拓扑动力系统,若对轨线φ(x,t)而言,，则φ(x,I)就是一个极小集，但它不是紧致的。而比较有趣的是紧致极小集，如休止点和周期轨线就是紧致极小集。在R2上定义的连续动力系统的紧致极小集只能是休止点和周期轨线。但当R≠R2时，情形就不同了。
例如，式中θ，φ的周期都为1。这样就在二维环面T2上定义了动力系统。当у是有理数时，T2上都是周期轨线；而у是无理数时, T2上的每条轨线在其上处处稠密，T2构成紧致极小集。
又如，前例中,当у是无理数时，令，，式中 (θ，φ)是对θ，φ周期都为1的连续周期函数。对；当,。直观地说，这就是将前例中的一条过点p且在T2上处处稠密的轨线用奇点p切断。这时T2不再是极小集，而奇点p是极小集。
伯克霍夫证明，若R是紧致度量空间,则在其上定义的动力系统Rt至少包含一个紧致极小集。
当R是紧致的二维定向流形,在其上定义了C2光滑动力系统。若A是Rt的极小集且在R上无处稠密,则A必是休止点或周期轨线。若Ωx中不包含休止点或周期轨线,则Ωx=T2=R。但当Rt只是C1光滑时,A.当儒瓦在1931年举出过反例（见常微分方程定性理论）。
轨线分类 根据轨线的极限点的性质，可分为：
① 若Ωx=═，则称φ(x,t)为正向远离；
② 若Ωx≠═,但φ(x,I)∩Ωx=═，则称φ(x,t)为正向渐近；
③ 若,则称φ(x,t)为正向泊松稳定，简称p+稳定。
仿此，有负向或双侧的远离、渐近和泊松稳定轨线，后者分别简称为p-或p稳定。休止点和周期轨线是p稳定的。R2上的连续动力系统的 p稳定轨线只能是休止点或周期轨线，且其上的 p+或p- 稳定轨线必是p稳定轨线。而当R≠R2时,情形就完全不同了。如前述的T2上被奇点切成两段的轨线, 一条是p+稳定的, 另一条是p-稳定的,而T2上其余的都是p 稳定的轨线。比起远离和渐近轨线来，p 稳定轨线是较复杂和较有兴趣的。从天体力学观点看，p稳定轨线在它的运行过程中,将不断地在其轨线的任一点的任意小邻域内再现。与此现象相反的是下面的情形。
设点x∈R，若存在它的邻域U(x)及时间T>0,使得当t≥T 时,U(x)∩φ(x,t)=═，则称x为游荡点。R上的所有游荡点集W是R上的不变开集。V=R\W是相对于R的非游的点集,它是不变闭集。所有p稳定轨线上的点都是非游荡点。反之，却不然。如前述的被奇点切断的那条轨线，若再用有限个奇点将它切断，则每两个奇点之间的那些轨线就既非p-稳定也非p+稳定，但其上都是非游荡点。
对于p稳定轨线φ(x,t),根据在其运行过程中，它在轨线上任一点的任意小邻域中再现的时间序列的性质不同，可分成很多类型，除了周期轨线外，最重要的是以下两类。
若对任给ε>0,存在T(ε)>0及I上对T(ε)而言的相对稠密集{τn}，使得对一切t∈I和一切τn，有ρ(φ(x,t),φ(x,t+τn))<ε，则称轨线φ(x，t)是几乎周期轨线（或称概周期轨线）。周期轨线便是几乎周期的，若周期轨线的周期为ω>0，则可取T(ε)=ω,τn=nω。
若上述相对稠密集{τn}是依赖于轨线上的点y=φ(x,t)或者说依赖于t的，即{τn(t)},则称φ(x,t)为回复轨线。回复轨线和几乎周期轨线的闭包的性质是不同的。伯克霍夫证明,紧致极小集内的每条轨线都是回复的;反之，在完备空间内回复轨线的闭包是紧致极小集。而紧致极小集Σ成为几乎周期轨线的闭包的充分必要条件是：Σ是紧致、交换、连通拓扑群。
前例中未被奇点切断的轨线都是p稳定的,但它们不是回复的。类似地，可构造双周期函数(θ，φ)，使得整个环面T2是回复轨线的闭包而不是几乎周期轨线的闭包。
A.M.李亚普诺夫稳定性（见常微分方程运动稳定性理论）、吸引区等概念已经推广到拓扑动力系统。对非自治微分?匠痰慕饫匆ο低常此?"斜积流"，这是值得注意的动向。
(*)
的右侧函数,且满足解的惟一性条件，为n维欧几里得空间。由于S(x)与t无关,不失一般性，可设(*)的每个解φ(x,t)在整个实轴I上有定义，于是它确定了×I到的变换，满足：
① 初值条件：φ(x,0)=x;
② φ(x,t)对x，t一并连续；
③ 群的条件：即对任意x∈，任意t1，t2∈I有；
④ φ(x,t)对t可微。
为了更一般地研究问题，可以抛开常微分系统，并假设空间是一般的度量空间R。设φ(x,t)是R×I到R且满足性质①、②、③的单参数连续变换群，则所有这些变换的全体称为拓扑动力系统或抽象动力系统,记作,其中参数t代表时间。点集{φ(x,t),t∈I}称为过点x的轨线或轨道,记作φ(x,I)。仿此,称为正半轨线，为负半轨线。φ(x；为弧段。当t∈I +(半群),称为半动力系统或半流；当t∈N（整数加群）,称为离散动力系统或离散流。若φ(x,t)=x，对一切t∈I,则称点x为休止点，若φ(x，t+ω)＝φ(x,t)，对一切t∈I，其中ω>0，则称φ(x,t)为周期轨线,满足上述等式的最小正数ω，称为周期轨线的周期。
例如，下面是一个有趣的拓扑动力系统──别布托夫系统。
令勪。对于??(x)，g(x)∈勪 ,定义距离
。
对距离ρ，勪 构成完备的可分的度量空间。定义映射φ：勪×I→I 如下：
，
于是它构成一个拓扑动力系统，称为别布托夫系统，简记为。
由n个符号所组成的一切可能的双无穷序列,在上述类似的距离和轨线的定义下，组成动力系统，称为符号动力系统，它可视为的子系统。很多拓扑动力系统可嵌入成为它的子系统。
若??(x)呏с，则φ(??(x),t)是休止点；若 ??(x+ω)＝??(x)，对一切x∈I，其中ω>0，则φ(??(x)，t)是周期轨线。周期轨线在中处处稠密。另外中含有在勪中处处稠密的轨线。
极限点集及轨线分类 G.D.伯克霍夫认为，动力系统理论主要是研究各种轨线的类型及其间的关系。为了研究轨线的分类,必须了解轨线在无穷时(t→±∞)的状态。
极限点集 设：实数列。如果有，则称点y是轨线 φ(x，t)的ω-极限点，Ωx表示φ(x，t)的一切ω－极限点集。若，则称y是φ(x, t)的α－极限点，Ax表示φ(x, t)的一切α－极限点集。
不变集 设给定集合A吇R，若对一切t∈I,φ(A,t)=A，则称A是不变集。Ωx和Ax是闭的不变集。任何一条轨线是不变集，但不一定是闭集。
极小集 集合∑吇R称为极小集,若它是非空、闭的且不变;同时它没有任何真子集也具有这三条性质。显然，Σ中的每一条轨线在Σ上处处稠密。另外，在上所定义的拓扑动力系统,若对轨线φ(x,t)而言,，则φ(x,I)就是一个极小集，但它不是紧致的。而比较有趣的是紧致极小集，如休止点和周期轨线就是紧致极小集。在R2上定义的连续动力系统的紧致极小集只能是休止点和周期轨线。但当R≠R2时，情形就不同了。
例如，式中θ，φ的周期都为1。这样就在二维环面T2上定义了动力系统。当у是有理数时，T2上都是周期轨线；而у是无理数时, T2上的每条轨线在其上处处稠密，T2构成紧致极小集。
又如，前例中,当у是无理数时，令，，式中 (θ，φ)是对θ，φ周期都为1的连续周期函数。对；当,。直观地说，这就是将前例中的一条过点p且在T2上处处稠密的轨线用奇点p切断。这时T2不再是极小集，而奇点p是极小集。
伯克霍夫证明，若R是紧致度量空间,则在其上定义的动力系统Rt至少包含一个紧致极小集。
当R是紧致的二维定向流形,在其上定义了C2光滑动力系统。若A是Rt的极小集且在R上无处稠密,则A必是休止点或周期轨线。若Ωx中不包含休止点或周期轨线,则Ωx=T2=R。但当Rt只是C1光滑时,A.当儒瓦在1931年举出过反例（见常微分方程定性理论）。
轨线分类 根据轨线的极限点的性质，可分为：
① 若Ωx=═，则称φ(x,t)为正向远离；
② 若Ωx≠═,但φ(x,I)∩Ωx=═，则称φ(x,t)为正向渐近；
③ 若,则称φ(x,t)为正向泊松稳定，简称p+稳定。
仿此，有负向或双侧的远离、渐近和泊松稳定轨线，后者分别简称为p-或p稳定。休止点和周期轨线是p稳定的。R2上的连续动力系统的 p稳定轨线只能是休止点或周期轨线，且其上的 p+或p- 稳定轨线必是p稳定轨线。而当R≠R2时,情形就完全不同了。如前述的T2上被奇点切成两段的轨线, 一条是p+稳定的, 另一条是p-稳定的,而T2上其余的都是p 稳定的轨线。比起远离和渐近轨线来，p 稳定轨线是较复杂和较有兴趣的。从天体力学观点看，p稳定轨线在它的运行过程中,将不断地在其轨线的任一点的任意小邻域内再现。与此现象相反的是下面的情形。
设点x∈R，若存在它的邻域U(x)及时间T>0,使得当t≥T 时,U(x)∩φ(x,t)=═，则称x为游荡点。R上的所有游荡点集W是R上的不变开集。V=R\W是相对于R的非游的点集,它是不变闭集。所有p稳定轨线上的点都是非游荡点。反之，却不然。如前述的被奇点切断的那条轨线，若再用有限个奇点将它切断，则每两个奇点之间的那些轨线就既非p-稳定也非p+稳定，但其上都是非游荡点。
对于p稳定轨线φ(x,t),根据在其运行过程中，它在轨线上任一点的任意小邻域中再现的时间序列的性质不同，可分成很多类型，除了周期轨线外，最重要的是以下两类。
若对任给ε>0,存在T(ε)>0及I上对T(ε)而言的相对稠密集{τn}，使得对一切t∈I和一切τn，有ρ(φ(x,t),φ(x,t+τn))<ε，则称轨线φ(x，t)是几乎周期轨线（或称概周期轨线）。周期轨线便是几乎周期的，若周期轨线的周期为ω>0，则可取T(ε)=ω,τn=nω。
若上述相对稠密集{τn}是依赖于轨线上的点y=φ(x,t)或者说依赖于t的，即{τn(t)},则称φ(x,t)为回复轨线。回复轨线和几乎周期轨线的闭包的性质是不同的。伯克霍夫证明,紧致极小集内的每条轨线都是回复的;反之，在完备空间内回复轨线的闭包是紧致极小集。而紧致极小集Σ成为几乎周期轨线的闭包的充分必要条件是：Σ是紧致、交换、连通拓扑群。
前例中未被奇点切断的轨线都是p稳定的,但它们不是回复的。类似地，可构造双周期函数(θ，φ)，使得整个环面T2是回复轨线的闭包而不是几乎周期轨线的闭包。
A.M.李亚普诺夫稳定性（见常微分方程运动稳定性理论）、吸引区等概念已经推广到拓扑动力系统。对非自治微分?匠痰慕饫匆ο低常此?"斜积流"，这是值得注意的动向。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条