补充资料：Riesz空间

Riesz空间
Riesz space

　　设L是有主投影性质的R记sz空间，设e是L的一个非零正元又设f是由。生成的带中的一个元素.对一田<:<二，令“:=suP(“。一f，0)，又设p二是在分解L二B。①B二下己在“。生成的带B。中的分量.集合(p。)。称为f关于e的谱系(spec·阔systeln).现假设存在有限区间使得“。(f蕊(b一。)e对某个:>0.则对“簇a，p。=0;而对:)b，p。=。.对{“，b1的每一划分不a““。<二J<。，·<以。=b，构造下和与上和 “(二，j)一*万，:、一(，·、一，·‘一，)， u(二，/)一*若.二*(，·‘一，二‘一t)， 那么有以下的抽象积分论(abstract inte脚tiontlleoly)中的结果，称为F化lldenihal谱定理(Freuden-thalspec比iltheo~).设L，e，f，“，b，。如上.则 s沙“(“，f)=厂一丫“(“，j).在L是某空间(特别是R的一个子集)上实值函数的一个Riesz空间且。(x)=1的情形，这谱定理表示L中函数用“阶梯函数”逼近的性质.测度论中的Rad田~N伽ed沁定理(Rado刀一N议。形mtbe~)和开圆盘上有界调和函数的R妇期.公式(Poissonfor-m川a)是该谱定理的特殊情形.Freudenth川谱定理是几esz空间理论的出发点之一Riesz空I’ed【Riesz sPace;P”cca .PocTp明c卿]，向量格(veetor』at石ce) 一种实偏序向量空间x(见偏序集(partially ord-eredset);向最空lted(veetor space))其中， l)向量空间结构与偏序是相容的，即由x，y，:‘X和x<夕推出x十:O，又eR，又>O推出又x>0; 2)对任意两元素x，y〔X存在s叩(x，y)‘X.特别地，任意有限集的上确界和下确界存在. 在苏联的科学文献中Riesz空间通常称为K线性系(K刁云犯司).这样的空间首先是由F.Riesz于1928年引进的. 具有逐点序的实连续函数空间Cta，b1是Riesz空间的一个例子.对瓦esz空间的任意元素x可定义x*=suP(x，0)，x_，suP(一、，0)和!沐}二x，+x_.于是x二x、一x_.在Riesz空间中可以引进序列王x。}的两种类型的收敛性.序收敛(。川比con-ver罗力ee)，o收敛(o，conve耳男nce):x，三x。，如果存在一个单调增序列行。J和一个单调减序列毛:，}使得夕。(x。簇:，，且sup夕。二inf:。二x〔，.相对一致收敛(relative uniform convergence)，r收敛(r一eonvergenee):x。二x。，如果存在一个元素u>o，使得对任意。>0存在。。使得当。)n。，}x。一x‘，}<。以r收敛也称为以正则子收敛(convel罗ncewith a regulator).0收敛和r收敛概念有数列收敛的许多通常性质且可自然地推广到网{，二}二〔*C= X. 一个Rjesz空间称为Arellirn以七s的(AI℃111“犯d-ean)，如果x，y 6X且对n=1，2，…，nx簇y蕴涵x成0.在A代hin祀des的Riesz空间中，又。~又。和x.竺x。蕴涵又。x，生又(，x〔，(几。，又声R，;。，x〔，任X)，一且/收敛蕴涵。收敛.。卜注)Riesz空问L的Riesz子空lb](Rjesz subsP-改e)是L的线性子空间K使得当f，goKI付sup(f，少)=.f丫g和inf(j’，g)=f八，在K中(这里suP和inf是L中的).L的一个子空问A如果又是一个序理想(order ideal)，即f任A，g任L，]g!提}f}蕴涵以〔A.则称为Riesz理想(Riesz ideal).在俄文文献中这样的子空间分别称为子谱系(sublineals)和正规子谱系(norl伯1 sublineals)一个带(baod)是一个凡esz理想A，使得对D CA如果stlpD在L中存在则supD在A中.在前苏联文献中一个带常称为分量(comPoneni). 从R记sz空间L到Riesz空间M的线性算子T称为正的(p“itlve)，如果对所有的沂)o，f‘L，有Tf)0.L中集合D称为序有界的(order bounded)，如果存在f，g‘L使得对所有的d‘D，f毛d毛9.线性算子T称为序有界，如果它把序有界集映成序有界集.取正算子的集合作为正锥，在序有界算子空间上定义了一个序结构，使它成为一个Dedekind完全又esz空Ib](F比ude幻山出一KaHTopoB朋定理(F出团en日lal-Kantorovich theore们n)).回想起一个格是L靶dekjnd完全的(Dedekind comPlete)，如果每一个下(分别地，上)有界子序有下确界(分别地，上确界).正算子是序有界的;正算子的差T，一T:也是如此，称为正则算子(D墩Je肠耐operators).如果M是Dedekind完全的，则其逆成立:每一个序有界算子T可以有一个作为两个正算子的差的Jordan分解(JOrdan decompo-sition)T二T:一T:. Riesz空lbJ上的范数是Riesz范数(Riesz norm)，如果{f}簇}夕l蕴涵}{f{j簇l}g}l，Riesz半范数(Rieszs翎一norm)是具有同样相容性条件的半范数.带有Riesz范数的凡esz空间称为赋范Riesz空问(normed凡esz sPace).依范数完全的赋范Riesz空间是Ban-a由格(Banach lattice).由一个Banach格到一个1夭妇ekjjzd完全赋范Riesz空问的序有界算子T是按范数有界的. 设T。(L，M)是由Riesz空间L到Dedekjnd完全Riesz空间M的序有界算子的空间.T任T。(L，M)称为序列序连续的(sequentia】】y order eoniilluous)，或:序连续的(卜。司er continuous).如果对每一序列“。丢0(即单调减少到o)，随之有inf{T“。卜0;T称为序连续，如果对L中每一下有向系“:~O(见有向集(direeted set))，有时}T“:}=0.对序连续和序列序连续线性算子前苏联所用的术语是。线性和(o)线性.序连续和下序连续算子的集合均是T。(L，M)中的带.Riesz空ltiJL的序对偶(orderdual)是L到R中序有界算子的空问.此序对偶是1头xlekjnd完全的这一结果可追溯到F.Riesz. 在Riesz空问理论中有第二个重要的对偶性概念，联想起线性对偶性和代数几何学的对偶性:“理想白零集”，对概形理论它是基本的，被称之为Bakcr·Benyon对偶性(Baker一段nyon dua】jty)(见补充条目这一卷). 线性拓扑空问理论中(见拓扑向量空间(topolo-罗al”ector sPac“))用到以下的集合亨界件准则(cri·terion for bolul山对ness):集合B是有界的(在此理论中)，当且仅当对每一序列(x。)。，x，〔B，和每一收敛于零的实数序列(几。)。，有(几。x。)。收敛于零当。一，(.产生了这样的间题:Riesz空间中的序有界集是否可用这种方式来刻画其特征，即用(又。x。)。序收敛于零取代上述的收敛.对任意的Dedekind完全Riesz空间这不一定为真.使得此准则成立的I沈dekjnd完全RiesZ空间称为K+空问. 现设L是赋范空间而M是】无〔lekind完全侧esz空间.一个线性算子U:L，M称为bo线性的(bo-阮ar)，如果按范数义。一x蕴涵按序收敛Ux。一U戈.如果M是K+空间，则U:L一，M是bo线性的，当且仅当L中单位球面S的象U(S)是序有界的.由 {Ul“suP】Uxl }{工}{‘1定义的M中的元素!Ul则称为算子U的抽象范数(abstract rlo口n).(abstract nonn). 对Riesz空间有种种类似于Ha恤一B即阴ch型扩张和存在定理的结果.其中之一如下.设L是赋范空问，E是L的线性子集而U二E~M是映到Lkde-kind完全Riesz空间M中的一个b。线性算子.设U有一抽象范数.则算子U容许有一个具有同样抽象范数的到整个L上的b。线性扩张.这是KaHTo-POBHq扩张定理(R五川。rovich extension thejems)之一对Riesz空间的另一个扩张定理，也属于几.B.Ka肛叩oB职，涉及正算子的扩张:设X是形esz空问而E是控制X的一个线性子集，即对每一个x6X存在e〔E使得}川簇e.设U:E一，M是从E到Dedekind完全Riesz空间M中的一个正加性算子.则存在一个到整个X上的U的加性正扩张.用这些结果以及(或)有关扩张定理可以证明，被一Riesz半范控制的又esz空问L的Riesz子空间上的正线性泛函可以扩张成整个L上的正泛函，此结果转而可用以讨论何时L的序对偶至少是非零的. Riesz空间的例子可由拓扑空间上的实值函数(也可以是扩充的实函数)的空间提供，其中的序是逐点定义的.如同在Bal.ch代数(Banacha地ebra)情况下re月‘今a“压表示(C记1、记rePreseniation)提供了答案，人们问是否任一个形esz空间可以看成适当的〔理想的)空间上实值函数的空间.对Riesz空间的答案是由吉田耕作表示定理(ybs山representationtheoreln)及其有关的结果给出的. 在(实函数的)积分理论中，f二f+一f一，!月“f斗十.厂一这样的运算起着基础性的作用，其中f十(x)二rnax(f(x)，O)，f一(x)“刀lax(一f(x)，0)，这一点至少令人相信Riesz空间可为积分理论提供合适的抽象框架.下面将讨论的F此l兀坛n让以1谱定理形式下的情形确实是这样. 设X是具有零元0的一个格.令y是X的非空子集;x6x称为与Y不相交的(disjoint)，如果对所有yoy，，八y一0.’写于苯交的所有的二。x的集合称为Y在x中的不相交补(disjoint compkm-ent)，记为Y“.在Riesz空间L中两个元素f，g称为不交的，如果}fl八!g}二0.(如果f和g都是正的，它与前面的定义一致.) 在Riesz空间L中给定了一个带A，则其不交补AJ也是一个带.如果L是块山灿记完全的，则L二A田A沙.一般地，使得L二AOAJ的带A称为投影带(projeetion加nd).一个Riesz空间称为有(主)投影性质，如果每个(主)带是投影带.这样，Dedekjnd完全侧esz空间有投影性质(pr叼ec石on pro-perty)，且更不容置疑地有主投影性质(p血cipal pro-Jeetion proPerty).
　　

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