补充资料：应力函数和位移函数

    　　在弹性力学中，为方便求解，常把应力或位移用几个任意的或某种特殊类型的函数表示，这些函数通常叫作应力函数或位移函数。
　　
　　应力函数 　最有名的应力函数是弹性力学平面问题中的艾里应力函数。如果没有体力，平面中的三个应力分量σ_xx、σ_yy、τ_xy满足下列方程：
　　
　　
　　 。
　　 (1)根据方程(1),可将应力分量用一个函数φ（x，y）表示为：
　　
　　。
　　　(2)φ便是艾里应力函数。对于均匀和各向同性的物体,φ是一个双调和函数，即它满足下列双调和方程：
　　
　　
　　
　　
　　ΔΔφ=0，
　　
　　
　　
　　
　　 (3)式中是平面的拉普拉斯算符。引入φ后,平面问题原来的8个未知函数(两个位移分量、三个应变分量和三个应力分量σ_xx、σ_yy、τ_xy就归结为一个函数φ。这对求解具体问题很有好处。
　　
　　在弹性柱体的扭转问题中,剪应力分量τ_xz、τ_yz满足下列平衡方程：
　　
　　
　　
　　　。
　　
　　
　　　 (4)据此可将τ_xz、τ_yz用一个函数Ψ(x，y)表示为：
　　
　　
　　　。
　　
　　
　　 (5)Ψ称为普朗特应力函数。对于均匀和各向同性的柱体,Ψ满足下列方程：
　　
　　
　　
　　
　　 ΔΨ=-2Gθ，
　　
　　
　　
　　　(6)式中G为材料的剪切模量（见材料的力学性能）;θ为单位长度的扭转角。
　　
　　位移函数 　在求解弹性力学的空间问题时，也可以用六个应力函数代替原来的六个应力分量，但好处不多。所以，一般多采用各种位移函数。对于均匀和各向同性弹性体，位移分量u₁、u₂、u₃满足下列平衡方程：
　　
　　 式中是空间中的拉普拉斯算符；ν为材料的泊松比；G为剪切模量；┃_i为体力分量。方程(7)的解可以表达成多种形式。一种形式为：　式中ψ₁、ψ₂、ψ₃、嫓四个函数满足下列方程：
　　
　　 。　(9)函数ψ₁、ψ₂、ψ₃、嫓称为布森涅斯克-帕普科维奇-纽勃位移函数。 弹性力学中许多空间问题的解都是从公式(8)推导出来的。
　　
　　方程(7)还有另一种形式的解，即
　　
　　　式中F_i满足下列方程：
　　
　　
　　
　　　。
　　
　　
　　(11)函数F₁、F₂、F₃称为布森涅斯克-索米利亚纳－伽辽金位移函数。对于回转体的轴对称问题，公式(10)可作许多简化。取对称轴为z轴(x₃轴),记r为所考虑点到z轴的距离,并记位移在r、z轴上的投影分别为u、ω。若┃₁=┃₂=0，可取F₁=F₂=0，F₃=F(r，z)。这样，由公式(10)可得到：
　　
　　　 ,
　　　 (12)式中,即柱坐标中的拉普拉斯算符；F满足下列方程：
　　
　　
　　　　
　　　 。
　　
　　
　　　 (13)
　　 公式(12)中的函数F称为乐甫位移函数。 在求解轴对称问题时，经常利用公式(12)。
　　
　　在┃₁=┃₂=0的情况下,即使不是轴对称问题,方程(7)的解也可用一组位移函数F、┃表示如下：
　　
　　
　　　 式中F、┃满足下列方程：
　　
　　
　　
　　 , Δ┃=0。
　　　(15)这组位移函数特别适用于求解无限体、半无限体和厚板等问题。
　　

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