补充资料：包络

包络
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而充分条件是f任C，，并且满足(9)和下列条件: D ff.f.几、_Df云.几、 二二上二坦述二乙竺乙笋O，共月典二书笋砖0. D(x，y，z)一’D(A，B)对于曲面族r(u，。，A，B)，其中r任C，和rux瓦护0，必要条件是 甲=(ru孔rA)=0，少=(气凡rB)=0，(10)而充分条件是r任口，并且满足(l0)和 }〕三三，三}，。，、，。. !叭凡巧几心礼峪l n维流形中依赖于k个参数的一族m维子流形包络的更复杂概念可在可微映射奇异性理论的基础上引出，作为一族映射的奇异性的特殊形式.给出的平面曲线族，其中C是族的参数，“是沿族中曲线的参数，一点在包络上的必要条件是几11rc，或 ，一孚毕共~一。，(3) D(u，C)两者是同一回事. 充分条件是r‘CZ并且除满足(3)外还要满足 几共一rc叭笋0.(4)违反条件(2)和(4)往往与包络上出现尖点有关. 空间依赖于单参数C的曲面族的包络(山volopeofa fami】y ofsur阮璐)是这样的曲面，使得其上每个内蕴参数为(u，v)的点与族中参数为C(“，v)的曲面相接触，并且函数C(u，v)在(u，。)定义域的任何区域上不是常数.例如，中心在一直线上的同半径球面族的包络是一个柱面.对于由f(x，y，z，C)=0给出的曲面族，其中f“c’和沃廿诱l+匡}护0，包络的必要条件是满足方程组 了=0，fc=0;(5)而充分条件是fe口并且除(5)外再加上条件: fc。笋0，(6) }卫丝二玉立{+}卫艾2五立}+}卫丛选立}，。. }L， Lx，y)}}L，沙，z)1】L，Lz，x)!对于曲面族r(u，v，C)，其中r‘C’和‘x凡笋0，包络的必要条件是满足方程 职=(凡几几)=0;(7)而充分条件是r任CZ并且除(7)外还要满足下列条件: }叭叭毋。l }r二ru凡rurc}特o，}礼j+I叭i笋0.(8) l孔叽嵘几rc!违反条件(6)和(8)中的第一式往往与包络上出现尖棱有关.包络与族中每张曲面的接触线称为特征线(cl坦份以eristiC clu货).包络上的尖棱通常就是特征线的包络. 空间依赖于双参数A和B的一族曲面的包络是这样的曲面，使得其上每点(u，v)与族中参数为A(u，v)和B(u，岭的曲面相接触，并且在(u，v)定义域的任何区域上不存在函数。‘c’使A(“，好二。(B(。

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