补充资料：平稳随机过程

平稳随机过程
stationary stochastic process

　　程理论的最重要的一般定理是Birkhoff~X五H可朋遍历定理(Birkhoff一K上inchin ergedic thoo~)，按照这个定理，对于任何有数学期望(即E}X(t)}<田)的严平稳随机过程X(亡)，极限 T :一二。万去了JX(:)d。一戈，(‘) 5或 :单二下二了，东.X(t)一X，〔‘“)以概率1存在(式(1)针对连续时间过程，而(1a)针对离散时间过程).还有一个E .E .CJ’Iy从K而的结果(【11)是针对宽平稳随机过程的，它表明极限(l)或(la)依均方意义存在.这个极限与EX(t)一致，当且仅当 T 忽T一丁b(;)J:一。，(2) 0或 T一1 忽T一‘:瓦“(‘)一o，(Za)其中 b(T)=B(:)一。’= =E tX(t+T)一m」〔X(t)一m」(拍nNeu江以nn(LZ)遍历定理(vonNeu比以nn(L:一)e卿记icthe。~)).特别如果当‘~的时，b(:)~0，这些条件是满足的.Birkhoff一XHHqHH定理可以应用到取如下形式的各种严平稳随机过程: Y。(s)=中[X(t+s)】，其中中【X(t)]是平稳随机过程X(t)的任一泛函，同时是有数学期望的随机变量.如果对于所有这样的平稳随机过程Y。(、)，其对应的极限Y。与Ey。一致，则X(t)称为度量传递平稳随机过程(metricallyt~妞i说s师0训刁stochastic process).对于平稳〔冶让铝随机过程X(t)，严平稳与宽平稳的条件是一致的;而其具有度量传递性，当且仅当x(t)的谱函数(spectral丘mction)F以)是又的连续函数(例如见【2]，【31).一般关于一个平稳随机过程x(t)的度量传递性，并不存在简单的必要与充分条件. 除了关于度量传递性的上述结果之外，对于平稳C泊uss随机过程还有其他一些特殊的结果.对这类过程X(t)的实现(即单个观测值)的局部性质、零点与极大值序列的统计性质以及与一给定水平线的交点，都已作了详尽的研究(例如见t3」).与一水平线的交点有关的结果的典型例子是如下的命题:在很宽松的正则性条件下，一条高的水平线x=u与平稳〔沁uss随机过程x(t)的交点集当u一的时按某个特定的时间尺度(依赖于u且快速趋于无穷)收敛于有单位强度的事件的Poisson流(见「3」). 当研究宽平稳过程时，过程X(t)的值的线性组合及此种线性组合序列的均方极限组成的Hilbert空间Hx是考察的对象，其中的内积由公式(Y:，YZ)二EYIYZ定义.此时，变换X(t)~X(t+。)，其中a为固定的数，将生成一个把空间H二映到其自身的线性酉算子U。;算子U。族显然满足条件U。U。=U“+。，而值X(r)=U:X(o)构成一点集(若时间t连续则为一曲线，时间离散则为一可数点列)，被所有算子U。映到自身上.于是，宽平稳随机过程的理论可以用泛函分析的语言重述:研究Hilbert空l’ed万二的点集X(t)=U:X(0)，其中U，是一族使U。U。二U。十。成立的线性酉算子(亦见算子半群(~一grouP of operators)). 对于宽平稳随机过程理论，基于随机过程X(t)及其相关函数B(:)的Fourier一Stieltjes积分展开式而考虑其谱，是处于中心地位的.由XHHqHH定理(14])(它是关于正定函数一般形式的B心chner分析定理的简单推论)，连续时间平稳随机过程的相关函数B(约总可以表示为如下形式: 。(;)一了。，一、;(、)，(3) A其中F(又)是又的有界单调非减函数，而A=(一的，二);而关于正定序列一般形式的Her咖tz定理类似地指明，离散时问平稳随机过程的相关函数也有同样的表示，只不过A=[一二，7r]如果相关函数B(:)当}训~的时下降得充分快(如应用中最常见的情形，在把X(t)理解为差值X(t)一m，即考虑Ex(t)=0的条件下)，那么(3)的右边的积分就变成通常的Fourier积分 。(:)一丁。!!‘f(*)、*，(4) A其中f(劝=F‘(又)是非负函数.函数F(劝称为X(t)的谱函数(spectral ftmction)，而函数f(幻(在等式(4)成立的情形下)称为它的谱密度(spec-喇由川ity).从x滋月，H公式(3)出发(或从过程X(t)表成珊bert空间Hx中的点集x(r)=U‘X(0)这一定义，再由关于Hilbert空间中单参数酉群的谱表示的Stone定理)，又可以证明，X(t)本身也成立如下形式的谱分解 X(‘)一丁。“’dZ(“)，‘，， A其中Z(又)是一个具有不相关增量的随机函数(班ndom丘山ctionwithuncorrelatedincre此nts)(即当又，祷又2时有〔dz(又、)dz(又2)=o)厂之满愁黔卜E}dz(又)}’=dF(又)，而右边的积分理解为对应的积分和序列的均方极限.分解式(5)为把任一宽平稳随机过程考虑成一族有随机振幅与相位、且不同频率为不相关调和振荡的叠加提供了依据;谱函数F(幻与谱密度f(劝则确定了构成X(t)的谱频率为又的调和振荡平均能量(更确切些，功率)的分布‘(因此，在应用研究中，函数j(又)常称之为X(:)的能谱(energys讲etrum)或功率谱(powers详ctrum).) 由公式(3)定义的相关函数B(T)的谱分解，表明映射X(t)一。’“是H、到LZ(dF)的一个等距映射，它把Hilbert空间Hx的元X(t)映到Hilbert空间LZ(dF)的元。‘卜，而LZ(dF)由集A上的具有对dF似)平方可积的模数的复值函数组成.这个映射可扩张为由整个空问H、到空问L:(dF)上的等距线性映射M，这一事实允许人们把宽平稳随机过程理论中的许多问题重述为函数论中的问题. 宽平稳随机过程理论的一个显著部分，是致力于解决此类过程的线性逼近问题的方法，即定出X(t)的任意“己知”值的一个线性组合来最佳逼近(在最小均方误差意义下)同一过程的某个“未知”值或任一“未知的”随机变量y特别地，X(t)的最优线性外推问题是要寻求值x(、)(、>0)的最佳逼近x‘(、)，而后者线性依赖于所有的“过去值”X(t)，t簇仇最优线性内插问题是要寻求X(s)的最佳逼近，而它线性依赖于t在某个包含:的特定时间区间之外的所有x(t)的值;最优线性滤波问题则可陈述为:对某一随机变量Y，寻求其线性依赖于X(t)当t续O时的值的最佳逼近Y’(Y通常是一个与X(t)相关的平稳随机过程Y(t)在某个t=s处的值，在此Y(t)最常扮演“信号”的角色，而X(t)二Y(t)十N(t)，是“信号”与干扰它的“噪声”N(t)之和，这个和是从观测得知的).(见随机过程的预测(stochastic pro-e卧es，p代月ictionof):随御U丈程的滤波(stochastic pro-cesses，filteringof);随机过程的内插(stochastic Pro-eesses，interpe饭tion of).) 所有这些问题在几何上都归结为把Hilbert空间H:(或其扩张)的一个点正交投影到此空间的一个给定子空间上的问题.根据这个几何解释以及空间H、与LZ(dF)的同构性，A.H.KOJ’IMoropoB推导出一般公式，使之可以由离散时间t的平稳随机过程X(t)的谱函数F(又)确定最优线性外推或仅当t=s的X(t)的值为未知这种情形的内插的均方误差(见【21，【5]一【61).当用于外推问题时，关于连续时间过程X(t)的同样结果由M.r.Kpe盆H与K.Kar」1山呢n获得，N.认飞ner(〔8】)证明了，在最优线性外推与滤波情形下，最佳逼近x’(s)或Y’=Y’(s)的寻求可以归结为某个Wiener一Hopf型积分方程的解，或(当t为离散时)这种方程的离散类比的解，它可以平稳随机过程fstationa叮st以出asticp吹ess;cTa”“o-。a阳。盛e刃，成.。旅npo践eee]，时齐随机过程(stocha-stie Proeess，ho咖geneous in tin℃) 统计特征不随时间t而改变的随机过程(stoc肠-tic process)X(t)，即相对于时间的平移:t，t+a，X(0~X(亡十“)，“取任意固定的值(实数或整数值，依赖于所考虑的是连续或离散时间的随机过程)，其统计特征是不变的.平稳随机过程的概念在概率论的应用中被广泛用于自然科学技术的各个领域，因为这类过程准确地描述了很多伴有无序波动的实际现象.例如，一个平稳系统中一条电路的电流或电压的脉动(电子“噪声”)就可认为是平稳随机过程;平稳湍流中某一点处的速度或压力的脉动也是平稳随机过程，等等. 在平稳随机过程的数学理论中，过程X(t)的概率分布的矩，尤其是第一、二阶矩一-均值〔x(t)二m，协方着甲哲(eovar~erunc如n)。

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