补充资料：变分方法

    　　以变分学和变分原理为基础的一种近似计算方法，是解决力学和其他领域问题的有效数学工具。
　　
　　变分学的研究对象 　17世纪末提出来的最速降线问题、短程线问题和等周问题是历史上著名的三大变分问题。泛函的极值是变分学的研究对象,其奠基人是L.欧拉、J.-L.拉格朗日、雅各布第一·伯努利和约翰第一·伯努利。
　　
　　为了说明变分问题的特点，可以最小旋转面问题为例。它可表述为:"通过两个固定点(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，可作一系列曲线y=y(x)，其中每条曲线绕x轴旋转一周都可得到一个旋转面，其面积为S；试求出使面积S为最小值的那条曲线y=y(x)。"显然,面积S取决于曲线的形式y=y(x)，即
　　
　　
　　
　　 由此可见，面积S是一个因变量,而函数y(x)是一个自变函数，因此，S是自变函数y(x)的函数：S=S[y(x)]。这种"函数的函数"在数学上叫泛函。所以，最小旋转面问题是一个泛函极值问题，这类问题就是变分学研究的内容。
　　
　　变分原理 　变分原理实际上就是以变分形式表述的物理定律，也就是说，在所有满足一定约束条件的可能物质运动状态中，真实的运动状态应使某物理量取极值或驻值。重要的变分原理举例如下：
　　
　　①　费马原理　光线通过介质时，与一切可能路径相比，真实路径使传播时间最短。
　　
　　②　哈密顿原理　在保守、完整的力学体系中，由初态过渡到终态的一切可能运动状态中，真实的运动状态使作用函数
　　
　　
　　
　　　取驻值。这里，T和U分别为体系的动能和势能（见能），t₀和t₁为相应于初态和终态的时刻。
　　
　　③　最小势能原理　在弹性平衡问题中，与一切满足位移边界条件的可能位移相比，真实位移使弹性体的势能为极小值。
　　
　　④　最小余能原理　在弹性平衡问题中，与一切满足平衡微分方程与外力边界条件的可能应力相比，真实应力使弹性体的余能为极小值。
　　
　　欧拉方程及其与变分问题的等价性 　变分问题可以化成等价的微分方程问题。例如，在固定边界的条件下，使泛函
　　
　　
　　
　　 取极值的函数满足下列微分方程：
　　
　　
　　
　　　 这个微分方程通常称为欧拉方程。
　　
　　欧拉方程与变分问题是等价的。它是微分方程形式与变分形式物理定律等价性的数学描述，变分原理则赋予微分方程问题与变分问题等价性以丰富的具体内容。虽然物理问题可以有两种等价的提法，但在求近似解时，从求泛函的极值或驻值出发，有时比从微分方程出发更为方便。因此，变分方法日益受到重视，并成为计算力学的重要方法之一。
　　
　　历史沿革与分类 　变分方法大致经历了古典变分法与有限元法两个阶段，20世纪50年代以前是第一阶段。虽然30～40年代已经有有限元法的雏型，但只有当60年代高速电子计算机问世以后，才使有限元法得到迅速发展。70年代后，有限元法已从结构力学和固体力学渗透到流体力学和其他领域，这是变分方法发展的第二阶段。
　　
　　①　古典变分方法　里兹法是最常用的古典变分方法，其要点如下：首先选取一组基函数（如多项式、三角函数），它们满足变分原理中的约束条件（如最小势能原理中的位移条件），然后用基函数的线性组合来逼近问题的真解，其中待定的系数就是所求的基本未知量。这样，原来求未知函数的问题就转化为求有限个未知数的问题，原来是泛函的驻值条件则转化为多元函数的驻值条件。最后应用多元函数的驻值条件建立一组代数方程，用以确定上述的待定系数，就可得到问题的近似解。当应用于多变量函数时，待定的系数是其中某一变量的函数。此外，还可直接从微分方程出发，并用积分控制误差，使之最小。至于取基函数和逼近问题真解的方法与上述无异。这也属于变分方法的范畴，其中包括伽辽金方法、最小二乘法、配置法、加权残数法等。对于形状简单的问题，根据对问题物理性质的了解与经验，容易测知正确的基函数系，而且往往只要一、二项就可得到较准确的结果。
　　
　　②　有限元法　古典变分方法的主要困难是选取基函数。这是由于它的基函数是在全域范围内选取的，需要满足全部约束条件，这类函数往往很难寻找，特别是对于复杂形状和约束条件的情况。
　　
　　有限元法是古典变分法与分片插值法相结合的产物。它不是在全域范围内选取基函数，而是先将全域分成单元，在单元范围内用低次多项式分片插值，再将它们组合起来，形成全域内的函数，用以逼近问题的真解。这样既避免了古典方法寻找基函数的困难，而且不规则剖分比差分方法具有更大的灵活性和适应性，所以应用范围极广，能计算物理和工程中的各种复杂问题。有限元法在近20年中发展迅速，已成为理论分析与工程设计的一种有效工具，这是当代计算数学的重大成就之一。
　　

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。