补充资料：四元数结构

四元数结构
quaternionic structure

四元数结构【q皿ter面.面c str理。犷e;心盯eP”“。邢翻cT-PyKTypa} l)实向量空间V上的四元数结构是四元数除环H上模结构，就是由V上两个反交换复结构(com-plex structule)J、，J:所诱导的V的自同态代数EndV的一个子代数H.自同态J，，JZ称为这个四元数结构H的标准生成元(stan(如rd generators)，由它们所定义的H的基{Id，J，，JZ，J。=JIJZ}称为标准基(sta以纽rd basis).标准基确切到H的自同构范围内是唯一确定的.代数H同构于四元数代数(见四元数(q娜ter功on)).向量空间V的自同构A称为这个四元数结构的自同构(aut~甲hism)，如果由它所诱导的自同构空间的变换肋A保持H不变，这就是说，如果(AdA)H二AHA一’=H.如果更进一步，在H上诱导出恒等自同构，则A称为这个四元数结构的特殊自同构(sPec讨aut~rP址sm).这个四元数结构的所有特殊自同构的群同构于除环H上一般线性群(罗幻eral haear gtouP)GL(。，H)，这里4阴二diniV.一个四元数结构的全体自同构的群同构于子群CL(m，H)与单位四元数群H，‘SP(1)共合化的直积. 2)微分流形上的四元数结构是切空间上一个四元数结构的域，就是切空间的自同态的丛End(T(M))~M的一个子丛二二H~M，它的纤维粱，二兀一’(P)是切空间T，(M)上的四元数结构，对一切p〔M.流形M上一对反交换殆复结构J.，J:称为一个特殊四元数结构(s pecial quaternionic structure).它诱导出四元数结构H，这里凡“{J二又。id十凡IJ、十兄ZJ;十之3J:JZ:又:〔R}.流形M上一个四元数结构H被一个特殊四元数结构所诱导，当且仅当H一，M是平凡的.流形上一个四元数结构可以看成一个Sp(1)·GL(水，H)结构，而一个特殊四元数结构可以看成在G结构(G一strac‘t眠)理论意义下一个GL(川，H)结构.因此，为了使得在一个流形M上存在一个四元数结构(或特殊四元数结构)，必要且只要切丛的结构群约化为群SP(1)·SP(脚)(或Sp(m)).一个特殊四元数结构，看成一个GL(m，H)结构，第一个延伸就是一个e结构(标架域)，它确定一个与这特殊四元数结构相关联的典范线性联络(】jl犯ar connection).这个联络的曲率(curvature)和挠率(tors10n)为零是这个特殊四元数结构局部等价于向量空间R呜用上标准平坦特殊四元数结构的一个必要且充分的条件. 四元数Ri~流形(quaternio血R七~man面ld)是E益址.流形(K赴iler例而fO】d)对于四元数结构的类比.它被定义为一个4m维Rial翅”111流形(R七玫以n搜以n】他垃fold)M，它的完整群r被包含在群SP(1)·Sp(。

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