补充资料：复数和复变数

复数和复变数
Complex numbers and complex variables

+少的记法简为二”x+iy，分量x称为复数z的实部，分量y称为复数z的虚部，复数的模记为}刻。 复共扼向量l和一i也是一组基，其乘法表恰好与l和i的乘法表相同。所以，从任一复数z~x十妙到复数坛~x一妙的映射，是保持复数系代数结构一对一的映射。因此汉牙汗夏万二石+不，不万福万二石·不。称复数三为二的复共扼，它具有性质:当z是实数时，二二牙，并且z’云二尹+少。用极坐标表示，牙是这样的复数，它的模与z相同，幅角为负的二的幅角(图3)。的实数x表达为无穷收敛级数的形式: f(x)二习a，(x一a)二 ”.0这里n!气一f(的(a)。如果用复数z代替实变数x后，这个级数仍收敛，那么函数f可自然地扩展为复变数z的一个复值函数。 收敛性间题比较容易处理。形式为万a，(z一a)”(认0)的级数称为以a为中心的复幂级数，a二，a和z是复数。对于任何一个复幂级数，均存在一非负实数。或co，使此幂级数对满足}z一al<。的所有的复数z收敛，使满足!二一al>;的所有的复数z发散，称;为幂级数的收敛半径。若r=O，此幂级数除z~a外对所有的复数z发散;若z=co，此幂级数对所有的复数收敛;若;非o亦非co时，此级数在以点a为圆心、r为半径的圆内关于所有的复数z收敛，对圆外的所有复数均发散，对在圆上的复数z，级数可能收敛也可能发散。收敛半径能由阿达玛定理确定:告-hm suP，，一}a，}’/”。更一般和直接一些，收敛半径满足lim inf。_，{a，}/}an+1}蕊犷 镇lin sup。_。la。}/}an+1}。图3复共扼 多项式实多项式函数f(习~广十。，二一‘+…+a，能以显然的方式扩张成复变数z的函数，直接置f(z)二扩十。1扩一’+…+a，，并利用复数系的代数运算即可。这种扩张的优点就是代数基本定理成立:复数系上一个非平凡的多项式函数总有一个根a，即对于这个复数a，f(a)一O。对于复系数的多项式有同样的结论。这个定理的一个简单的推论是:任一阶为二的多项式函数能够表达为乘积f(z)，(z一a，)(z一a:)…(:一a，)，这里复数a:，a:，…，a，是这个多项式严格地依重数计算的根。因此，从实数系到复数系的推广简化了多项式函数的分析，并澄清了它们很多的性质，在某种意义上，这是引入复数系最初的推动力。 幂级数以略为类似的方式，从实数系到复数系的推广也简化和澄清了比多项式更为一般的函数的分析。在初等微积分中大多数常见的函数具有收敛的泰勒级数展开，能够对足够靠近实数a的所有如果r是一个幂级数的收敛半径，那么此级数在满足}z一al毛户(P1时在z一O的导数为零。

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