补充资料：数论中的概率方法

数论中的概率方法
umber theory, probaixlistic methods

数论中的概率方法【n皿成此rd践叮，训如问峭c 11能灯.dsin:明ce月Toop。二，:。po，功oe翎.]，概率数论[娜、·b业ticn切的be rt」leory】 广义地说，是数论(n山川义r也cory)中利用概率论(pro加bility theory)的思想和方法的那一部分.狭义地说，概率数论是指算术函数(面让山r康允曰为。n)值分布的统计理论. 数论中研究的算术函数绝大多数是加性的或乘性的(见加性算术函数(祖山石记州thi众泪cfiJ目币on);乘性算术函数(m川石pli“山Ve面th订哈ticfu朗tion).它们的值通常是以十分复杂的方式分布的.如果描绘出这种函数当变数取值于自然数列时的变化，我们就会得到一个高度混乱的图形，正如我们同时考虑整数的加性与乘性性质时所经常看到的一样.在关于实算术函数f(m)的值分布的经典研究中，通常讨论的是f(m)本身或它的均值的渐近性质.在第一种情形下，是要去找两个简单的函数妙、(m)，价:(m)，使得妙，(水)(f(扭)成沙:(。)对所有的。成立，或者至少对充分大的。成立.例如，假设。(m)表示。的不同的素因数个数，则。(m))1对所有的m>1成立，且对m)附。，有田(m)(2(In inm)一，inm; 决见讨。(m)=l， .呱suP。(。)(Inm)一’inh。二1.在第二种情形下，是考虑均值 青其，‘m，“，的性质.对口(m)，均值(l)等于(1+o(1)Ininn).在一般情形下，关于函数f(m)的值或它的值的跳动，从第一个问题和第二个问题的解，只能得到很少的信息.一个函数可以本质上不同于它的均值.但是，在这点上出现大的偏差是很稀少的.这就提出了这样一个问题:确定范围使对占压倒多数的变数值函数f(m)的值在其中变动.设f(川)是实算术函数，及 A_一又迎卫之.B:一丫工二些生，(2、 p订。pp嘀。p-这里的求和号分别是对所有的素数P续”及所有的素数幂尸毛。求和，则 l价，，，、‘、，，。，，3 .c 言离(f(m)一A·)‘簇B·‘(亏+蓄万)，其中c是一个绝对常数.这样，对任意的t>O，除了可能有少于(3/2+c/inn)陀t一2个例外值外，对所有的从(n有不等式 If(m)一A。}。a，(类似于Lindeberg条件，见1加幼吨J;初巴定理(Li耐e比rg.R业r山句~))，则 凡‘A·+B二，一瓮_蓬一’‘’“一 =。(x)(5)(正态定律).若条件(4)满足，则在Kar助曲ta意义下B。是Inn的慢变化函数，此外，若氏，是这样的函数，则式(4)是式(5)成立的必要条件. 设B。是in摊的慢变化函数，那么凡(A。十B。x)收敛于一个方差为1的极限分布的充要条件是存在一个不减函数V(u)(一的。时有 N(一”卜‘…‘·，，宕i一’产2‘r·见「Al J.

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