上小学的时候，我们就知道所有的自然数可以分为质数（素数）和合数两类，当然还特别规定了“1既不是质数，也不是合数”。100以内的质数，从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、……、83、89、97。不用说了，你一定会背下来。那么质数的个数是不是有限多的呢？

在解决这个问题之前，我们先来看看另一个问题：怎样判断一个已知自然数是不是质数。比如，143是不是质数？

你一定会按照下面这个步骤去判断： 先用最小的质数2去除143，不能整除；再用3去试试，还是不行；再依次用5、7试试，还是不行；11呢？行！143＝11×13，所以143不是质数，而是合数。所以，判断一个数是不是质数，只需用比这个数小的所有质数，依次去除它即可，如果都不能整除的话，这个数就一定是质数；相反，只要这个数能够被某一个质数整除，这个数就一定是合数。这种方法所依据的原理是：每一个合数都可以表示成若干个质数的乘积。不用说，这叫做“分解质因数”，也是小学数学的知识。

我们先假设质数的个数是有限多的，那么必然存在一个“最大的质数”，设这个“最大的质数”为n。下面我们找出从1到n之间的所有质数，把它们连乘起来，就是：

2×3×5×7×11×13×……×n

把这个连乘积再加上1，得到一个相当大的数m：

m＝2×3×5×7×11×13×……×n＋1

那么这个m是质数还是合数呢？ 乍一想，不难判断，既然n是最大的质数，而且m＞n，那么m就应该是合数。既然m是合数，就可以对m分解质因数。可是试一下就会发现，我们用从1到n之间的任何一个质数去除m，总是余1！这个现实，又表明m一定是质数。

这个自相矛盾的结果，无非说明： 最大的质数是不存在的！如果有一个足够大的质数n，一定可以像上面那样，找到一个比n更大的质数m。既然不存在最大的质数，就可以推知自然数中的质数应该有无限多个。