补充资料：整除准则

整除准则
divisibility criterion

整除准则同侧威勿cri把‘刃:八二MocT。。p，3oa‘l 自然数A被自然数d整除所要满足的充分必要条件.同时要求这种条件容易被验证，以及这种验证要比直接用d去除A简单. 若两个数A与B的差被d整除，则A被d整除，当且仅当B被d整除这一性质是许多整除准则的基础.设月在十进制中的表示记为 A=(气二‘气)，。=气+l加1+二+10n气，则 A二%刊0AI，A;二a，+I佩+一+10”一’气; A=气+I山:+l印月2，AZ=妈刊叭十二+l伊一2哪A一喝+l加、+I哑+101〕A，，通3一隽+l佩++10”一认;由这些等式直接得到被10，1的，…整除的准则.此外，A被2整除的充分必要条件是它的最后一位，即数乌被2整除;A被4(被8)整除的充分必要条件是A的最后两(相应的，三)位数，即数乌十1伪.(数%+1加1+l(X)气)被4(被8)整除.因为差(%+10al)一(凡+2a，)是4的倍数，所以被4整除的准则也可表述为:数月被4整除，当且仅当数凡十2a，被4整除. 每一个被d整除的准则，总是使得数A(除了A太小外)可能用某个比A更小的非负整数来替代，它被d整除，当且仅当A本身被d整除.换句话说，每个被d整除的准则就是定义了某个取整值的函数f，它满足条件:对每个自然数月，}f(A){<月，以及f(A)被d整除，当且仅当A被d整除。任一满足上述条件的整值函数称为关于整数d的整除性函数(di访sibiljtyfunCtion for then切的berd)，所有这种函数组成的集合记作0(d).显见， f，(月)=a。。Q(2)自。(5)， 介(注)=ao+10 al任。(4)自Q(25)， 乃(通)二a。+loa，+looaZ‘。(8)门。(一25)， f4(A)=a。+Za:6Q(4).因为 A=(a。+A，)+gA.“(a。+a:+AZ)+9(A，+A:) 二二‘=(a。+…+a。)+9(A、+一+A。一1)，所以有 f5(A)=a(，+…+a。6Q(9)仁Q(3).因而，A被3(或9)整除，当且仅当它的各位数字之和被3(或9)整除.类似地， A=(a。一Al)+1 IA一(a。一a.+A:)+11(A一A:) =…=(a。一al+…+(一l)”a。)+11(Al一AZ+… +(一l)”一’注。一，)，所以 f6(A)“a。一a.+一+(一l)”a。60(11).如果在I护进制中表示整数(这里k=2，3，一)，那么就可找到被1少士1型的数整除的准则，若k=2，可得下面的被n及被101整除的准则: 井(A)=(a 1 ao).。+(a3a:)，。+(as a4)1。+…6。(川， 几(A)=(a，a。)，。一(a。a:)，。+(a，a;)，。一…Q(101).因为10，+l二7·11·13，所以就得到了被7，11，及13整除的公共的准则:为了确定一个给定的整数是否能被7，11，或13中的任何一个数整除，只要从右开始把这个数的数字以三位一组来分组，然后作这些组表示的数的交错和.这样，所得到的这个数被7，11，或13整除，当且仅当原来的数相应地被7，11，或13整除.因而， 几(A)=(a:a .a。)一(asa4a3)If，+(a:a:a。)一一 任0(7)自0(川门Q(13). 若整数c与d互素，则d整除Ac，当且仅当d整除A.这一思想也经常用来构造整除准则.设d是差10c一1的一个除数，则c和d互素，并从等式 Ac=(cAo+A.)+(10e一l)A，推出二d整除A，当且仅当d整除A，十ca。.例如，当d=19，c二2时，差10c一1被19整除。所以 f，o(A)=Al+Za。任O(19).为了确定一个给定的整数是否被19整除，可反复应用这个准则.设d是10c十1的一个除数.从等式 Ac=(ca。一Al)+(10c+l)A，推出:d整除A，当且仅当d整除A一ca。.若c=11，则roc+1被37整除，因而， fl，(A)“A;一1 la。任0(37).相应的整除准则可表述如下:为了确定一个整数A是否被37整除，只要移去A的最后一位数，再从剩下的各位数字构成的数中减去11与移去的这位数字的乘积.这样，A被37整除，当且仅当所得到的这个数被37整除。用类似的方法，可得到被形式为1护c士1的数整除的准则.

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