补充资料：中心和焦点问题

中心和焦点问题
centre and focus proWan

　　中心和焦点问题!叨加耐‘”.5帅咖n;uellTpa“中伪尽口n详近1，a〕 确定这样的条件的问题，在这些条件下常微分方程自治系统(au勿~璐s”tem) 工二大(、_v)，夕二Y(、，少)(*)所有轨道在平衡位置(闪Jli加um娜州m)O的某一邻域内，除O点本身，都是封闭曲线假定函数X和Y在O的某一邻域内为解析的.问题是H.P。泊以r已在【l]中提出的.A.M一几刃助」o8在【2]中获得了基本结果. 作为一个法则，假定在O点线性化系统的特征方程，也就是系统 宏X、(o)苍+耳(O为， 刀二Y·(O跨+弓(o切具有纯虚根.那么对于系统(*)奇点O是一个中心(沈爪代)(被封闭轨线所围绕)，或者是一个焦点伏‘此)(被螺线包围).在此清况下，存在一个中心的必要和充分条件是系统(.)在O的邻域内有一个与t无关的实解析积分F(x，夕)=C(见12]).基于此结果，已经研究出一些获得中自存在的条件的方法;这些条件包括多项式无限序列在(，)右边级数展开的系数中不出现.在右边为多项式的情况下，从关于多项式理想基的有限性的H认比d定理得出，在此序列中，只有有限个是本质的，而其余的则是它们的推论.确定一个中心的基本条件数的问题是很复杂的，而且只有当X和Y是二次多项式(三个条件)时才完全解决.在较高次多项式情况F，已研究出对某些结构—等时、稳定或对称—建立中心存在的条件的方法(见!3]，【4]).【补注】经典结果可在IAlj的119一125页中查到.
　　

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