1) Solving equation
方程求根
1.
So the algorithm is significant in solving equation.
将改进的迭代法和Ａｉｔｋｅｎ算法相结合，推导出一种新迭代算法并证明了新算法的收敛性和收敛阶仿真结果表明，用此算法求方程的根，收敛速度比Ａｉｔｋｅｎ算法要快，同时提高了解算精度，增加了初值的选择范围，对方程求根有重要意义
2.
Recently,some artificial biological modeling optimization algorithms have been applied to solving equations.
列举了传统方程求根方法的不足,介绍了当前若干人工仿生优化算法在方程求根领域的应用。
3.
In this paper,combining with the advantages of genetic algorithm and Newton algorithm,a new method for solving equations was provided which turned the problem of finding the equation s roots into the optimization problem.
在牛顿法与遗传算法的基础上,将方程求根问题转化为函数的优化问题,提出了一种新的求解非线性方程的遗传-牛顿法。
2) extract numeration
方程求根法
6) finding roots of non-linear equations
非线性方程求根法
补充资料：高次代数方程求根
左边为多项式的方程， 称为n次代数方程，又称多项式方程,其中n=1,2,...；αk是实系数或复系数,α0≠0。当n>1时,它叫做高次代数方程,其次数就是n。多项式的零点就是对应代数方程的根。
代数基本定理说，复系数代数方程在复数域至少有一个根。如果x1是一个根,则Pn(x)一定可被(x-x1)所除尽，其商为(n-1)次多项式。如果n>1，其商至少又有一个根x2,它也是原来方程的一个根。因此n次代数方程总是有n个根x1,x2,...,xn,其中可能有相同的根,叫做重根。
二次方程可以用公式求根，公式内包含某数的平方根；标准三次方程也可以用公式求根，公式内包含三次根；标准四次方程的对应多项式可以分解成两个二次式的乘积，其系数在求出对应三次方程的一个根后也可用公式求出；五次及五次以上的代数方程一般不能用根式求解。
将超越方程??(x)=0左端换成多项式Pn(x),超越方程就变成高次代数方程。因此超越方程求根的各种方法，例如割线法、牛顿法均可用于求高次代数方程的根（见超越方程数值解法）。下面是利用多项式性质的三种求根方法。
劈因子法 用x的二次式 除Pn(x)则得商Q(x)及余式
r(x)=r1(x)+r2，因而有Pn(x)=U(x)Q(x)+r(x)。
(1)设U(x)是一个近似二次因式，问题是怎样修改u1和u2使对应的余式更接近于零。为此，作线性近似，取则修正量du1、du2应满足方程组
进一步可写为 (2)利用已知关系可求出代入(2)后，就能求出u1和u2的校正量du1和du2。而u1+du1、u2+du2就是更好的二次因式的两个系数。
伯努利法 设E是使数列Fk的下标增加1的运算子,即EFk=Fk+1，则齐次常系数线性差分方程的特征方程就是代数方程Pn(x)=0，这个代数方程的根x1,x2,...,xn叫做差分方程的特征根。
给定 (F0,F1,...,Fn-1)的定值例如(0, 0,...,1)即可依次从(3)算出Fn,Fn+1,...。这样就定出差分方程的一个特解。
如果特征根各不相同，则差分方程的一般解是
设，且с1≠0，则当k→∞时,特解Fk的主要项是第一项，即,这就是求最大实根x1的伯努利法。
设方程的最大根是一对共轭复根：
计算 可以证明：，由此可得最大共轭复根对应的近似二次因式：。
劳思表格法 设给定代数方程 Pn(x)=0的系数都是实数，其中α0=1。劳思表格的计算方法如下：
其他行的数的计算公式为利用劳思表格可以对根的位置作出判断。如果劳思表格上最左列自上而下 n+1个数均为正数，则虚轴上及右半复平面上都没有根；否则虚轴上或右半复平面上有根。设最左列系数都不等于零，则可以证明在虚轴上没有根，在右半平面上根的个数等于在左列系数的变号次数。利用劳思表格还可以求出最大实部根的实部。设用 Pn(x)的系数作出的劳思表格不满足最左列系数都为正的条件，则知在右半闭复平面上有根。把复平面的原点平移到新原点(α,0),求出Pn(x)在α点的展开式系数，利用新系数构造在α点的劳思表格。选α充分大，则在新原点的右半平面没有根，最大实部根的实部必在区间(0,α)内。构造在α/2点的劳思表格，如果在右半平面有根，则最大实部根的实部在区间 (α/2,α)内，否则在区间(0, α/2)内。在有最大实部根的区间用中点继续分割及判断，则可得到最大实部根的实部的充分好的近似值。如果最大实部根是一个实根，所得值就是这个实根的近似值，否则它是有最大实部的一对或几对共轭复根的实部的近似值，而共轭复根的虚部可以从最后点的劳思表格内求出。
设Pn(x)的劳思表格判明在右半平面上没有根,则在负实轴上选新原点-α 。选α充分大, 则在新原点的右半平面上有根，最大实部根的实部在(-α,0)区间内。用中点分割法可以求出最大实部根。
在高次代数方程求根的过程中，往往会遇到病态多项式，它的系数的微小变化会引起零点的很大变化。因此，在电子计算机上编制通用求根程序时，计算机运算必须按高精度进行，即至少用双倍精度进行。
若已求出多项式 Pn(x)的一个实零点或一对共轭复零点，就可以用综合除法将原多项式化成一低次的多项式，这样可以依次求出Pn(x)的n个零点。但是，降阶运算带来了误差积累。如果求根次序按模从大到小进行，则降阶过程中引入的误差对后面一些小根精度的影响可能是严重的；但如果按从小到大的次序进行，即使对于病态多项式，一般也不会影响后面求的根的精度。
参考书目
清华大学、北京大学《计算方法》编写组编：《计算方法》，上册，科学出版社，北京，1974。
代数基本定理说，复系数代数方程在复数域至少有一个根。如果x1是一个根,则Pn(x)一定可被(x-x1)所除尽，其商为(n-1)次多项式。如果n>1，其商至少又有一个根x2,它也是原来方程的一个根。因此n次代数方程总是有n个根x1,x2,...,xn,其中可能有相同的根,叫做重根。
二次方程可以用公式求根，公式内包含某数的平方根；标准三次方程也可以用公式求根，公式内包含三次根；标准四次方程的对应多项式可以分解成两个二次式的乘积，其系数在求出对应三次方程的一个根后也可用公式求出；五次及五次以上的代数方程一般不能用根式求解。
将超越方程??(x)=0左端换成多项式Pn(x),超越方程就变成高次代数方程。因此超越方程求根的各种方法，例如割线法、牛顿法均可用于求高次代数方程的根（见超越方程数值解法）。下面是利用多项式性质的三种求根方法。
劈因子法 用x的二次式 除Pn(x)则得商Q(x)及余式
r(x)=r1(x)+r2，因而有Pn(x)=U(x)Q(x)+r(x)。
(1)设U(x)是一个近似二次因式，问题是怎样修改u1和u2使对应的余式更接近于零。为此，作线性近似，取则修正量du1、du2应满足方程组
进一步可写为 (2)利用已知关系可求出代入(2)后，就能求出u1和u2的校正量du1和du2。而u1+du1、u2+du2就是更好的二次因式的两个系数。
伯努利法 设E是使数列Fk的下标增加1的运算子,即EFk=Fk+1，则齐次常系数线性差分方程的特征方程就是代数方程Pn(x)=0，这个代数方程的根x1,x2,...,xn叫做差分方程的特征根。
给定 (F0,F1,...,Fn-1)的定值例如(0, 0,...,1)即可依次从(3)算出Fn,Fn+1,...。这样就定出差分方程的一个特解。
如果特征根各不相同，则差分方程的一般解是
设，且с1≠0，则当k→∞时,特解Fk的主要项是第一项，即,这就是求最大实根x1的伯努利法。
设方程的最大根是一对共轭复根：
计算 可以证明：，由此可得最大共轭复根对应的近似二次因式：。
劳思表格法 设给定代数方程 Pn(x)=0的系数都是实数，其中α0=1。劳思表格的计算方法如下：
其他行的数的计算公式为利用劳思表格可以对根的位置作出判断。如果劳思表格上最左列自上而下 n+1个数均为正数，则虚轴上及右半复平面上都没有根；否则虚轴上或右半复平面上有根。设最左列系数都不等于零，则可以证明在虚轴上没有根，在右半平面上根的个数等于在左列系数的变号次数。利用劳思表格还可以求出最大实部根的实部。设用 Pn(x)的系数作出的劳思表格不满足最左列系数都为正的条件，则知在右半闭复平面上有根。把复平面的原点平移到新原点(α,0),求出Pn(x)在α点的展开式系数，利用新系数构造在α点的劳思表格。选α充分大，则在新原点的右半平面没有根，最大实部根的实部必在区间(0,α)内。构造在α/2点的劳思表格，如果在右半平面有根，则最大实部根的实部在区间 (α/2,α)内，否则在区间(0, α/2)内。在有最大实部根的区间用中点继续分割及判断，则可得到最大实部根的实部的充分好的近似值。如果最大实部根是一个实根，所得值就是这个实根的近似值，否则它是有最大实部的一对或几对共轭复根的实部的近似值，而共轭复根的虚部可以从最后点的劳思表格内求出。
设Pn(x)的劳思表格判明在右半平面上没有根,则在负实轴上选新原点-α 。选α充分大, 则在新原点的右半平面上有根，最大实部根的实部在(-α,0)区间内。用中点分割法可以求出最大实部根。
在高次代数方程求根的过程中，往往会遇到病态多项式，它的系数的微小变化会引起零点的很大变化。因此，在电子计算机上编制通用求根程序时，计算机运算必须按高精度进行，即至少用双倍精度进行。
若已求出多项式 Pn(x)的一个实零点或一对共轭复零点，就可以用综合除法将原多项式化成一低次的多项式，这样可以依次求出Pn(x)的n个零点。但是，降阶运算带来了误差积累。如果求根次序按模从大到小进行，则降阶过程中引入的误差对后面一些小根精度的影响可能是严重的；但如果按从小到大的次序进行，即使对于病态多项式，一般也不会影响后面求的根的精度。
参考书目
清华大学、北京大学《计算方法》编写组编：《计算方法》，上册，科学出版社，北京，1974。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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