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1)  average value inequality
均值不等式
1.
Here some applications of average value inequality on the proof of inequality and integral are presented.
均值不等式在不等式理论中的地位非常重要,均值不等式在不等式的证明中有很多功能,如均值不等式的降幂功能、并项功能、放缩功能等等,利用这些功能可以在证明不等式中简化证明,显得简单有力。
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2)  mean Value inequality
均值不等式
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3)  Average inequality
均值不等式
1.
Extension and Application of the Average Inequality;
均值不等式的推广及应用
2.
Two proofs based on two lemmas for average inequality was discussed in this paper.
给出二个引理并用递降法给出均值不等式以别致而合理的证
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4)  equal value inequality
均值不等式
1.
Kexi inequality and equal value inequality are two basic inequality and formulas that we can use nimbly to solve various complicated problems.
柯西不等式及均值不等式是人们所熟知的基本不等式 ,立足基本公式 ,灵活运用基本公式解决各种复杂的问题 ,这也正是数学中所追求的 ,从均值不等式推出一个简单易记住的推论 ,并由此推论和柯西不等式证明了一批不等式。
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5)  mean inequality
平均值不等式
1.
New Application of Mean Inequality
关于平均值不等式的新应用
2.
In the article,the existence of limit of(an)is proved by using mean inequality,and the result that the proving of boundedness is stronger is got.
运用平均值不等式证明了数列an=(1+1n) n 的极限存在性 ,并且得到有界性比较强的结果。
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6)  mean value inequality
平均值不等式
1.
By the mean value inequality,some conditional inequalities about homogeneous function of higher degree are acquired so that the relating results about homogeneous function of lower degree are generalized.
利用平均值不等式,得到高次齐次函数的若干条件不等式,推广了低次齐次函数的相关结果。
2.
In this paper,we through the example introduce some applications of the mean value inequality in mathematical analysis.
在数学分析中,平均值不等式可用于判断某些数列及级数的敛散性,解决积分不等式问题,求函数极值等。
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补充资料：均值不等式

几个重要不等式(一)

一、平均值不等式

设a1,a2,…, an是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=…=an时取等号

1.二维平均值不等式的变形

(1)对实数a,b有a2+b2³2ab　　　　　　　　　 (2)对正实数a,b有

(3)对b>0，有，　　 (4)对ab2>0有，

(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b)　　　　　　　　　　　　　　　 (6)对a>0,有

(7) 对a>0,有　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8)对实数a，b有a2³2ab-b2

(9) 对实数a，b及l¹0，有

二、例题选讲

例1.证明柯西不等式

证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取

代入(9)得有

两边平方得

法二、，即二次式不等式恒成立

则判别式

例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：

(1)

(2)

证明：(1)左=[]

=

³

(2)由知

同理：

相加得：左³

例3.求证：

证明：法一、取，有

a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b)

相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0

所以

法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12)

=(a12+ a22+…+ an2)n,

所以原不等式成立

例4.已知a1, a2,…,an是正实数，且a1+ a2+…+ an<1，证明：

证明：设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,

则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)

1-a1=a2+a3+…+an+1³n

1-a2=a1+a3+…+an+1³n

…………………………………………

1-an+1=a1+a1+…+an³n

相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1

例5.对于正整数n，求证：

证明：法一、

>

法二、左=

=

例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且，求证：

(1)

(2)

证明：(1)

相乘左边³=(n2+1)n

证明(2)

左边= -n+2(

= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

³ -n+2×n

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