补充资料：幻方

幻方
magic square

　　【补注】幻方是从古代起就被研究的课题，例如在公元前2仪X)年左右，在中国已经知道感阶幻方.D汕rer的名作《优郁》(M比劝choly)中便画有一个4阶幻方. 在(正交的)拉丁方(偶)(见拉丁方(助血squ-眼);正交拉丁方(。川幻即耐Latill闪ua心”与幻方之间有一种紧密的联系，这从L .E直七r(见【AI]与汇A2】)开始一直有研究.亦见【A31和那里给出的参【译注】中国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》(l 275)中系统研究了幻方，他把幻方称为‘纵横图”.杨辉所介绍的幻方构作方法可推广来构作任意奇数阶幻方. 一个”阶幻方如果进一步满足要求 ‘客:。一‘象·:一‘象·卜。客·:。+1一，- =卫工卫全』舒;卫上且(二)就称为一个。阶的两次幻方.现已有了借助于正交拉丁方构作2·阶贾八爪车l)，阶两次幻方丽方法([Blj). 对幻方的近期研究情况可参看【B21.幻方[.沙，，..忽;“ar，，“‘“叭p盯] 由整数l到nZ组成的，满足下列条件的n xn方形阵列l}a‘z}I: ‘乙a。一，乙a。一各a“一‘各a‘.。十:一‘一:，(·)其中s=陀(n’十1)/2.也有更广泛的幻方，对它不要求l(a。簇nZ·任何一个数a，1簇a(”2，都可被一对余数(“，口)1以对。所唯一刻画(即a一1在n进制下的两个位上的数字)，这就是说，用模n的余数环Z/炸的二维空间(z/陀)’的点来刻画.由于方形阵列位置元的坐标(i，j)也可以当作(z/n)2的元素，可见从l到。’中的数在阵列”a。}}中的任何一种分布，可以由一个映射 (z/n)2~(Z/n)2来给出.这就是说，由一对函数:，“(i，j)ez/n，尹一夕(i，j卜Z/n给出，其中i，j“Z/n·问题就是去研究给出幻方的那些函数对.通常只在补充假定:及夕是线性时作这种研究(见川).特别是，已经弄明白，对于具有线性的:及刀的幻方，只在n是奇数时才存在. 布史世纪就已经发现了一些构作阶”为奇数的幻方的算法.每个这种算法都用六个余数i。，j。，p，q，歹，互刻画，并且用下列规则描述:l)把数l放到位置(i。，j。);并且2)如果a放人(i，j)且(i+夕，j+妇处仍空着则把a+1放人该处，否则，把a十1放人(i+歹，j+可).‘一余数i。J。，·p，q，歹，互不是任意的，它们必须满足一定的条件才保证不仅(，)成立，而且算法可行，这就是说，当(i+p，j+q)处已被占据时，(i十歹，j十妇是空的.容易找到这些条件(见【1』).此外，现已知道，可以用这种类型的算法构作的幻方，必须且只须用以描述它的函数“及口都是线性的. 已经知道了许多其他的构作(用非线性的仪及刀来描述的)幻方的算法，但没有关于它们的任何一般理论(1呢2).即使玲阶幻方的数目也不知道(对于n)5;n=3时，如果不重复计算由明显的对称性导致的结果，只有一个幻方，而牡=4时，有8阳个幻方). 具有附加的对称性的幻方，也只在十分特殊的状况下(例如，n《5;见[2])，有过研究.
　　

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