补充资料：共形映射的边界性质

共形映射的边界性质
roperties of a confbrmal mapping, boundary

　　共形映射的边界性质!阴血肋lal mapPing，卜扣nd翻卿pn叩比币esof爪嘟.中叩姗以附6pa雀elu.肠印”明脚ecBo曲cT.a} 把复平面内一卜_域共形映射成另一区域的函数在被映射区域边界上及边界邻近的性质在这些性质中有:把给定区域鱿共形映射为区域G:的函数w一八力连续延拓到G!的边界r;的某点C或整个边界rl的可能性;在这种延拓不可能的情况下的不连续性特征;经延拓的映射在边界点心任r、的共形性;经延拓的函数在rl上及闭区域百、二G，日r，上的可微性或光滑性特征;或映射函数的导数对于Gl中各种解析函数族的类属关系，等等.这些性质是同G，和G:的边界性质联系在一起加以研究的.共形映射的最一般的边界性质之一断言:对任何单连通区域G，和GZ及G，到G。一L的任一单叶共形映射w二f(习，该映射按照如下意义建立了两区域的素端(见极限元(limlt elements))lb]的-一对应;即该映射把位尹‘l内确定G、的某个素端杏的所有等价路径组成的类变成位于G:内确定G:的某个素端。的所有等价路径组成的类(逆映射:二f一’(w)，*〔G:，则把确定。的路径等价类变成确定C的路径等价类).而且，依照特定的拓扑，‘了确定了区域G，连同它的素端(要求同点:任G，一起都成为一拓扑空间中的点)到区域G。连同它的素端的同胚.通常考虑G、和GZ之一是单位圆盘D一{::{:}<1}的情形(偶尔是半平面或扇形域);一般情形可l)〕结为这种特殊情形. 设w一_/(:)是具有边界C={::川二玛的圆盘D到具有边界r的有界区域GL的单叶共形映射，设:二‘入、‘)是它的逆映射明(、厂(:))二:一若D.则有如下结果. l)为使w=j(刁可连续延拓到点〔任C，其必要充分条件是，在这一映射下G的对应卜C的素端是第-类素端(即由单个办组成，.为使:二侧叼可连续延拓到点(o 6r，其必要充分条件是，仍是仅仅一个素端的组成部份(更确切地说，是G的仅仅一个素端的支撑的组成部份).若I一是一条闭Jorda。曲线，则f可连续延拓到C_上，沪可连续延拓到r上，因此经延拓的函数实现闭区域万和乙一之间的-一双向连续映射(同胚)， 在下文中l一表小一条Jordan曲线，并且假定函数.厂和价分别被延拓到c和r 2)若r是可求长的闭Jordan曲线，则边界函数f‘心)(C任C)和毋恤)(〔。任r)是绝对连续函数.因此，.二f“)(C任C)和心二价佃)(田任r)都把边界零测度集变成边界零测度集.函数f(:)关于闭圆盘D在几乎每个点套任C处有有限的非零导数，同时毋(。)在几乎每个l奴山任r处有有限的非零导数.因而这些映射在各自的区域的儿乎每个边界点处是共形的(即具有保角性和伸缩比的不变性).函数.厂’〔习属于Hardy类H’3)设r是可求长的闭Jordan曲线且具有如下性质:对于任何不同两点田.，以6r，’它们分r为两段弧，其中较短弧的长度与这两点的距离{口，一田:之比具有一上界d，d是某个与田，和姚无关的量则f仓)在D上满足阶为2(1+d)“2的H6lder条件. 4)设r是光滑的闭Jordan曲线.固定一点(!j、任r对于一戈<、<(，一条长度为{s1的弧沿着r依照关于G的正向(当s>0时)或负向(当s<0时)从该点发出.设田(s)是这条弧的终点，设T(约是在点田(s)处的切线正向与实轴正向间的夹角(选取T(s)的值使得函数:(s)连续).若对于某个p二0，1，，【·‘存在导数:切(s)满足某个正数阶:　　

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