在数学及其相关领域中,一个对象具有完备性,即它不需要添加任何其他元素,这个对象也可称为完备的或完全的。更精确地,可以从多个不同的角度来描述这个定义,同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中,“完备”也有不同的含义,特别是在某些领域中,“完备化”的过程并不称为“完备化”,另有其他的表述,请参考代数闭域(algebraically closed field)、紧化(compactification)或哥德尔不完备定理。
一个度量空间或一致空间(uniform space)被称为“完备的”,如果其中的任何柯西列都收敛(converges),请参看完备空间。
在泛函分析(functional analysis)中, 一个拓扑向量空间(topological vector space)v的子集s被称为是完全的,如果s的扩张(span)在v中是稠密的(dense)。如果v是可分拓扑空间(separable topology space),那么也可以导出v中的任何向量都可以被写成s中元素的(有限或无限的)线性组合。更特殊地,在希尔伯特空间(hilbert space))中(或者略一般地,在线性内积空间(inner product space)中),一组标准正交基(orthonormal basis)就是一个完全而且正交的集合。
一个测度空间(measure space)是完全的,如果它的任何零测集(null set)的任何子集都是可测的。请查看完全测度空间(complete measure)。
在统计学中,一个统计量(statistic)被称为完全的,如果它不允许存在0的无偏估计量(estimator)。清查看完备统计量(complete statistic)。
在图论(graph theory)中,一个图被称为完全的(complete graph),如果这个图是无向图,并且任何两个顶点之间都恰有一条边连接。
在范畴论(category theory),一个范畴c被称为完备的,如果任何一个从小范畴到c的函子(functor)都有极限(limit)。而它被称为上完备的,如果任何函子都有一个上极限(colimit)。请查看范畴论中的极限定义。
在序理论(order theory)和相关的领域中,如格(lattice)和畴(domain theory)中,全序性(completeness)一般是指对于偏序集(partially ordered set)存在某个特定的上确界(suprema)或下确界(infima)。值得特别注意的是,这个概念在特定的情况下也应用于完全布尔代数(complete boolean algebra),完全格(complete lattice)和完全偏序(complete partial order)。并且一个有序域(ordered field)被称为完全的,如果它的任何在这个域中有上界的非空子集,都有一个在这个域中的最小上界(least upper bound);注意这个定义与序理论中的完全有界性(bounded complete)有细小的差别。在同构的意义下,有且仅有一个完全有序域,即实数。
在数理逻辑(en:mathematical logic中),一个理论(theory)被称为完备的,如果对于其语言(language)中的任何一个句子(sentence)s,这个理论包括且仅包括s或。一个系统是兼容的,如果不存在同时p和非p的证明。哥德尔不完备定理证明了,包含皮亚诺公理(peano axioms)的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。
在证明论(proof theory)和相关的数理逻辑的领域中,一个形式的演算(caluclus)相对于一个特定的逻辑(即相对于它的语义(semantics))是完备的,如果任何由一组前提q根据语义导出的陈述p,都可以从这组前提出发利用这个演算语法地(syntactically)导出。形式地说,导出 。一阶逻辑(first-order logic)在这个意义下是完备的。特别低,所有逻辑的重言式(tautologies)都可以被证明。即使在经典逻辑中,这与前述的完备性是不同的(即一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式)。相反的概念被称为可靠性(soundness)。
在计算复杂度理论(computational complexity theory)中,一个问题p对于一个复杂度类c,在某个给定类型的归约下是完全的(complete),如果p在c中,并且c中的任何问题利用该归约都可以化归到p。例如,np完全问题(np-complete)在np(np)类和多项式时间(polynomial-time)和多对一归约的意义下是完全的。
这是一个消歧义页——使用相同或相近标题,而主题不同的条目列表。
如果您是通过某个内部链接而转到本页,希望您能将该内部链接指向正确的主条目中。