补充资料：柱的基本理论

    　　柱在轴向荷载作用下，由于荷载的偶然偏心，柱本身有初始弯曲，材质不均匀等原因，从加载开始时起即发生压缩与弯曲的组合变形,即使材料遵循胡克定律,但柱的横截面上的弯矩以及柱的侧向位移（挠度）均不与荷载成线性关系。柱的性能的理论研究可按两种不同类型的计算简图进行。在第一类简图中把柱视作本身有初始弯曲的杆或荷载有偏心的直杆，第二类简图则把柱视作理想中心压杆，即认为杆是绝对直的、材料绝对均匀、荷载亦无任何偏心。
　　
　　有初始弯曲的杆或偏心受压直杆 　两端铰支的柱作为偏心受压直杆时（图1a）。根据小刚度杆的计算理论,任意横截面上的弯矩为M=P(e+v),式中M为弯矩；P为荷载；e为偏心距；v为任意横截面处杆的挠度。若杆的材料始终在线弹性范围内工作，则由挠曲线近似微分方程EIv"＝－M＝－P(e＋v)可得杆的中点挠度δ与荷载P有如下非线性关系：
　　
　　
　　
　　
　　式中E为弹性模量;I为惯性矩；L为杆长。图1b中的实线示出了上式所示的P-δ关系;当P→P_cr=π²EI/L²时，杆的挠度迅速增长，且以水平线AB为渐近线。事实上,挠度较大时就不能利用曲率的近似式1/ρ＝d²v/dx²,亦即不能利用挠曲线近似微分方程EIv"＝-M。如果利用曲率的精确表达式，则P-δ曲线将如图 1b中虚线所示。
　　
　　
　　理想中心压杆 　把柱作为理想中心压杆时（图2a），若在分析中对杆不给予任何干扰，则P-δ曲线显然为图2b中的铅垂线OAD;假设杆受到微小的干扰而弯曲,则由曲率的精确表达式1/ρ＝dθ/ds所列出的微分方程为，据此可求得P-δ曲线如图2b中实线OABC所示。由此可知，对于理想的中心压杆,当荷载P低于临界值P_cr时杆保持直线形式，此时如果杆受到微小的干扰而弯曲，则干扰除去后杆即恢复原有的直线形式，即 P_cr时平衡的直线形式是稳定的。当P＞P_cr时，理想的中心压杆有两种可能的平衡形式；直线形式和弯曲形式；而直线形式的平衡是不稳定的，杆在任何微小的干扰作用下发生微弯后,就会继续弯曲直至δ达到曲线ABC上与P相对应的值。当P＝P_cr时，直线OAD在A点与曲线OABC分叉,平衡是随遇的，微小的干扰除去后杆仍保持在干扰作用时的位置上。以上分析均假设材料始终在线弹性范围内工作。事实上，当荷载达到如图2b中B点对应的值时,由于杆中最大应力达到弹性极限而杆所能承受的荷载迅速减小, P-δ曲线将沿虚线BE下降。这就是说,细长的理想中心压杆所能承受的最大荷载仅稍高于临界荷载P_cr。由于确定最大荷载需要冗长的计算，而确定临界荷载比较简单，所以在工程计算中，常把临界荷载作为压杆所能承受的最大荷载。
　　
　　
　　根据理想中心压杆所得的临界力称为欧拉临界力。当压杆两端为铰支时,P_cr＝π²EI/L²。当端部约束条件不同时，柱的欧拉临界力的计算公式可统一写作
　　
　　
　　
　　
　　P_cr＝π²EI/(μL)² 式中μ为与端部约束条件有关的长度系数,μL称为相当长度（有效长度）。将上式两端除以柱的横截面面积 A所得的应力，称为欧拉临界应力
　　
　　
　　
　　σ_cr＝π²EI/(μL)²A＝π²E/λ²式中称为柱的柔度,也称为柱的长细比。
　　
　　求临界力和临界应力的欧拉公式按其导出的条件，只适用于临界应力σ_cr不超过材料的比例极限σ_p,即π²E/λ²≤σ_p的情况，也就是即所谓细长柱的情况。对于λ<λ_p的中长柱和短柱,常采用经验公式计算临界应力。
　　
　　

参考书目
　　　王启德著，林砚田等译：《应用弹性理论》，机械工业出版社，北京， 1966。（Chi－Teh Wang， Applied Elasticity，McGraw-Hill，New York，1953.）
　　

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