补充资料：坐标卡

坐标卡
chart

的坐标卡(曲线坐标).BRiemann采用坐标卡的概念作为新的无穷小的基础去探索儿何基础(见!11).按照Riemann的观点，几何学研究的基本对象是流形，即有一坐标卡的集合M.流形的现代概念是Riemann定义的自然推广. M的某子集U的一个坐标卡x:U一，D称为M的定义域U的一个局部坐标卡(10以Ich盯t).如果M被赋予拓扑空间结构，则进一步要求U是M的一个开子集且映射x是一个同胚.坐标卡可类似地用在尸中的值定义，其中F为任一赋范域，更一般地，坐标片可在拓扑向量空间中取值.M中以U，V为定义域的两个局部坐标卡(义，U)，(，，V)称为拳C‘相冬的(①mp“‘ibleof dassc‘)，如果I)它们的公共定义域w=u自F被两个坐标长映成开集(即，集合义(W)和烈W)为R内中的开集);2)W中的点关于这些坐标卡中的一个的坐标是同一点关于另一坐标卡的坐标的l次连续可微函数，即向量函数 少“x’:x(体)、以砰)是l次连续可微的.M的两两相容的局部坐标卡(x，，U。)的族A={(x。认)}覆盖M(即日。认=M)，则称为M的一个图册(atlas)，M上一个特定的图册定义了M上的一个微分流形(differen tiable manifold)的结构，且与这个图册的所有坐标卡相容的局部坐标卡称为容许的(或口光滑的). 坐标耘概念的无穷小类似物是人阶无穷小坐标卜(Infinitesimal chart of order人(或(坐标卡的)l、阶节(k一jet)或k阶余标架(以)一frame of order人))的概念.集合M的两个相容的局部坐标松(、.U)，妇川称为在点p 6U门V处直至k阶担娜单(‘“n罗nt)，如果x(P)=y(P)，且向量函数夕*一’:、，v(劝在x(P)处的直至k(包括k)阶偏导数为0.微分流形M的一个相容的局部坐标卜(x，U)在点p〔U处〔直至k阶)相切的局部坐标卡的类.片(、)称为M在p处的k阶无穷小坐标卡或在p处的人阶节 流形M上局部坐标仁的选取使我们可以将Ml_各种场量作为数值函数考虑，并对其使用分析方法.般地，场量在一点的值依赖于坐标长的选取(才;依赖少-坐标卡选取的量称为纯量，并用ML函数来描述.)尽管如此，对于广泛的及很重要的一类量(见几何对象的理论(罗ometrie objeCts，theory of))，其在一汽的值仅依赖于坐标卡在这点处的k阶无穷小邻域的结构，这种量(例如张量场)用M上所有k阶余框架集合上的函数来描述，利用这些观点，可以研究不依赖于坐标卡选取的那些量的性质.利用这种联系，不变自由坐标研究微分几何问题被证明是极为有效的[补注1关于Riemann观点，特别见【l」.坐标卡{由art，班甲段」，曲线坐标系(curvllmear coordi-na‘e sys‘em)，季熬华(parame‘rization)，集合M的 集合M到实向量空间R”中斤子集D上的--一映射 x:M‘D一p ox切)=(x‘切)，…，尸切))，整数n称为坐标卡的维数(dlmension of the chart)，向量x(P)〔R”的分量x‘(p)称为p任M关于坐标卡义的坐标(姗rdlnates). 坐标卡的一个例子是由 P.凡rmet和R.Des以r-tes引人并采用作为解析几何基础的平面和空间Descar-tes坐标系.L.Euler第一个在儿何研究中使用曲面上

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