1) two-valued propositional logic
二值命题逻辑
1.
The Theory of Approximate Reasoning Based on the Premise Information in Two-valued Propositional Logic
二值命题逻辑中基于前提信息的近似推理理论
2.
In this paper,we obtain the truth degree expression of the pseudo-metric in two-valued propositional logic,which is based on the truth degree.
在二值命题逻辑系统中引入程度化概念和方法是进行近似推理的基础。
3.
From the syntactical point of view,the concept of the syntactic truth degree of formulas is proposed in two-valued propositional logic system.
本文从语构理论入手,在经典二值命题逻辑系统中给出公式的语构真度的概念,从两个不同的角度给出语构真度的等价刻画。
2) Classical Propositional Logic
二值命题逻辑
1.
Three Models of Γ Approximate Reasoning and Their Equivalence in Classical Propositional Logic;
二值命题逻辑中的三种Γ近似推理模式及其等价性
2.
Approximate reasoning based on conditional truth degree of formulas in classical propositional logic
二值命题逻辑中基于条件真度的近似推理
4) 3-valued Lukasiewicz logic
三值Lukasiewicz命题逻辑
6) n-valued Lukasiewicz Logic
n值Lukasiewicz命题逻辑
1.
Based on the idea of conditional probability,this paper introduced the conditional truth degree conception of proposition in n-valued Lukasiewicz Logic,then gave out some propositions of conditional truth degree.
利用条件概率的思想在n值Lukasiewicz命题逻辑中引入公式的条件真度概念,并给出条件真度的一些性质;利用条件真度定义公式相似度,进而导出全体公式集上的一种伪距离,这为n值Lukasiewicz逻辑系统中给出在信息下的近似推理理论提供了一种可能的框架。
补充资料：命题逻辑
现代逻辑较简单、较基本的组成部分，它不考虑把命题分析成个体词、谓词和量词等非命题成分的组合，只研究由命题和命题联结词构成的复合命题、特别是研究命题联结词的逻辑性质和推理规律。命题逻辑分为经典命题逻辑和非经典命题逻辑，后者如构造逻辑、模态逻辑等逻辑系统中的命题逻辑部分。历史上最早研究命题逻辑的是古希腊斯多阿学派的哲学家。现代对命题逻辑的研究始于19世纪中叶的G.布尔。G.弗雷格则于1879年建立了第一个经典命题逻辑的演算系统。
语法和语义 研究命题逻辑需要使用公式表示复合命题的形式,并反映复合命题的逻辑特征,组成这种公式的一组符号和规定怎样由符号构成公式的一组规则，合在一起便构成一个人工符号语言。当把符号和公式看作是没有意义的具体对象，只研究公式之间的关系时，这种研究称为语法的；当对符号和公式予以解释，例如把一部分符号解释为命题联结词，把某些符号解释成取真假二值为值的变元，并在这种解释下研究公式的意义时，便称这种研究为语义的。命题逻辑在描述和研究符号语言、即对象语言时,还要使用另一种语言,即元语言。元语言通常由某种自然语言并加上若干专门符号构成。关于整个命题逻辑系统的性质和系统特征的研究，称为元逻辑的研究。由元逻辑研究得到的关于整个逻辑系统的定理称为元定理。
命题形式 用特定的语词把命题连接起来可以构成复合命题；从中起连接作用的语词称为命题联结词；构成复合命题的命题称为支命题，支命题本身也可以是复合命题。命题逻辑研究复合命题的逻辑形式、推理形式和公理系统。传统逻辑关于假言推理、选言推理和二难推理等的理论，都属于命题逻辑的范围。复合命题的形式可以公式明晰地表示。在经典命题逻辑里，这种公式通常由以下 3种符号组成：①表示任意命题的命题变元，它们是 p,q,r,p1 ,q1 ,...；②5个基本的命题联结词,即塡、∧、∨、→、凮；③用来显示公式的结构层次的括弧(,)。5个基本的命题联结词依次称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词和等值词；在汉语中，它们通常分别用语词"并非"、"并且"、"或者（可兼的）"、"如果...则"以及"当且仅当"表达，在这5个联结词中,否定词属一元联结词，其余 4个都是连接两个命题以构成复合命题，称为二元联结词。复合命题的形式都可以用这3类符号构成的公式表示。如塡p表示否定命题的形式，p∧q、p∨q、p→q、p凮q，分别依次表示合取、析取、蕴涵和等值命题的形式。它们是和 5个基本的联结词相应的5个基本的复合命题形式。
命题联结词的解释和真值函项 经典命题逻辑把命题看成或者真的或者假的，认为复合命题的真假可唯一地由其支命题的真假决定。命题的真和假叫做命题的真值。命题变元是取真值（真或假）为值的变元，也就是以真值组成的集合为变域的变元。联结词是施于命题以形成命题的算子，特别是从命题的真值得出命题真值的算子。命题形式是一种真值函项，即以真值集为变元的定义域，并以真值集为值域的函项。这种真值函项可以用真值表定义。5个基本命题形式的真值表为:这个真值表规定了其中联结词的意义。其中的1代表真，0代表假。从表中可以看出这 5个基本命题形式的值怎样由其中变元的值决定。例如，最左边的表表示，塡p 的值由p的值决定，当p的值为 1时，塡p的值为0；当p的值为0时，塡p的值为1。这也就是对塡的解释。
联结词可以相互定义,例如,∨可用塡和→定义，即把p∨q定义为塡p→q。事实上，所有联结词都可以用某些基本联结词定义出来。例如，所有联结词都可以归结到塡和→，或者塡和∧，或者塡和∨。
常真式 常真式或称重言式是经典命题逻辑的一个公式，称为常真的。如果其中的命题变元不论赋予真值1或0，该公式的值常为 1；如果对命题变元的每一组真值赋值一公式的值常为 0，此公式便称为常假式或矛盾式。命题逻辑的公式可以分为常真的、常假的、以及对命题变元的某些组赋值取值1而对其它赋值取值0的公式3种类型。常真式表达着命题逻辑的定律（规律）,具有特殊的意义。
例如p∨塡p、p∧(p→q)→q，都是常真式。前者表示排中律，后者是表示肯定前件假言推理的推理形式的公式。一个公式是不是常真的，可以用真值表方法确定，即由依据 5个基本命题形式的真值表所逐步构造出的真值表确定。下表可以说明怎样用真值表确定一个公式的真值，确定一个公式是否常真。表中最后一横行圈内的数码表示逐步求值的次序，纵列⑦是要确定其是否常真的公式的真值,因其全部是1,从而表明该公式常真,是一常真式。我们用元语言符号Ａ 、Ｂ等表示任一公式,用喺Ａ表示Ａ是一常真式。还用Ａ喺Ｂ表示对于Ａ和Ｂ中出现的命题变元的每一组赋值,当Ａ的值为1时,Ｂ的值必定也是1。喺与公理系统所用到的儱不同，前者是语义符号，而后者是语法方面的符号，它表示在系统中可以证明。按照常真式的定义，显然有：一公式 A常真，当且仅当它的否定塡Ａ常假。
公理系统 经典命题逻辑的常真式为数无穷，它们在一定意义上都表达逻辑定律。为了系统地研究和掌握这些逻辑定律，需要对它们作整体的考虑，将全部常真式都包括在一个系统之中。为此，可用公理方法将命题逻辑的全部定律系统化，从而得到一种形式系统，即称为命题演算的公理系统。在一个形式系统中，其语法部分，包括作为出发点的初始符号、形成规则、公理和变形规则。以下陈述的是经20世纪波兰逻辑学家J.卢卡西维茨简化过的弗雷格的系统。该系统的初始符号为：①逻辑常项，即命题联结词，用塡、→表示；②命题变元，以p、q、r、p1 、p2 ,...表示;③括弧,即(,)。该系统的形成规则，在于规定怎样组合起来的有穷长的符号序列是系统中的合式公式。这个系统的形成规则有 4条：①单独一个命题变元ｘ 是一合式公式； ②如果符号序列Ｘ是合式公式，则塡Ｘ是合式公式；③如果符号序列Ｘ,Ｙ是合式公式，则(Ｘ→Ｙ)是合式公式。④只有适合以上 3条的是合式公式。这个系统的公理共有 3条，即：
① 儱p →(q →p)；
② 儱(p →(q →r))→((p→q)→(p →r))；
③ 儱(塡p →塡q)→(q →p)。
变形规则也称推理规则。变形规则有两条：①代入规则是将一公式 A中出现的命题变元π处处代以公式 B，得到公式, 称为代入,以"如果儱Ａ,则儱"表示。②分离规则为"如果儱Ａ→Ｂ并且儱Ａ，则儱Ｂ"。
命题联结词∧、∨和凮可以通过定义引入，把
(Ａ∧Ｂ)定义为塡(Ａ→塡Ｂ)；
(Ａ∨Ｂ)定义为(塡Ａ→Ｂ)；
(Ａ凮Ｂ)定义为(Ａ→Ｂ)∧(Ｂ→Ａ)。
在上述规则、定义中出现的符号 ｘ,X,Y,Ａ,Ｂ等，是元语言符号。ｘ表示任意命题变元；X, Y 表示任意的符号序列；Ａ,Ｂ表示任一合式公式；儱是语法符号,表示紧跟在儱后面的公式是系统中的定理。
公式的有穷序列 Ａ1,Ａ2,...,Ａn称为是一个证明，如果其中每一Ａi(i=1,2,...,n)或者是公理，或者由在先的一个公式应用规则R1而得，或者由在先的两个公式应用规则R2而得。一个证明 Ａ1,Ａ1,...,Ａn也说是它的最后一个公式Ａn的证明。
一个公式Ｂ是系统中的定理,如果它有一个证明，即存在一个证明 Ａ1,Ａ1,...,Ａn，而Ａn即是 B。根据定理的定义，每一公理都是定理。一个公式是定理，当且仅当它是可证明的。
定理和可证明性都是语法概念。
这个系统的语义，即对符号和公式的解释，就是前面对于命题联结词和公式所作的解释，这个解释称为标准语义。此外还可作其他非标准的解释。在标准解释下，所有公理都是常真式，并且变形规则保持常真性，即把变形规则应用于常真公式而得到的公式也是常真式。由此表明，所有定理都是常真式， 也就是"如果儱Ａ，则喺Ａ"。这是关于这个演算系统的一个重要的元定理,称为可靠性定理。它的另一个重要的元定理是完全性定理，即凡常真式都是定理,可表示为"如果儱Ａ,则儱Ａ"。该系统还有一个重要的性质，即：在这个系统中不可能同时证明一个公式Ａ及其否定塡Ａ。这个性质称为一致性。
自然推理系统 命题逻辑也可以用另一种形式实现系统化，即构造自然推理系统。自然推理系统是一种逻辑演算。它与公理系统相比，是在自然推理系统中，并不给出公理而只给出一组适当的初始推演规则。这些推演规则规定从什么前提能推出什么结论，或者规定在某个推理关系成立的条件下，另一个推理关系也成立。一个与简化过的弗雷格公理系统相应的自然推理系统，它的初始符号和形成规则和前者相同。这个系统共有 5条初始推演规则：
① Ａ1,Ａ1,...,Ａn儱Ａi（i=1,2,...,n）,肯定前提规则；
② г儱Δ儱Ａ（Δ不空），演绎推理传递规则；
③ 如果г,塡Ａ儱Ｂ,并且г,塡Ａ儱塡Ｂ，则г儱Ａ,否定词消去规则，或称反证律；
④ A→Ｂ,Ａ儱Ｂ，蕴涵词消去规则；
⑤ 如果г,Ａ儱Ｂ，则г儱Ａ→Ｂ，蕴涵词引入规则。
在这5条规则中，Ａ、Ｂ表示任一公式，г、Δ表示公式序列，儱表示前提和结论之间的推理关系。规则②表示从г能推出Δ，而从Δ能推出 A，则从г能推出 A，表明推理关系是传递的。在这一自然推理系统中，联结词∧、∨和凮也可以通过定义引入，并且从初始推演规则导出关于∧、∨和凮的推演规则。该系统对每一常真公式Ａ，都有儱Ａ，也就是说,凡常真式,都能不需前提而用推演规则推出；并且,如果儱Ａ成立,则Ａ为常真式。这个自然推理系统与简化过的弗雷格的系统有如下关系，即一个公式 A是公理系统中定理，在自然推理系统中就有儱Ａ；反之,如果儱Ａ成立，则Ａ是公理系统中的定理。同时，这个自然推理系统也具有一致性、可靠性和完全性这几个重要的元逻辑性质。
语法和语义 研究命题逻辑需要使用公式表示复合命题的形式,并反映复合命题的逻辑特征,组成这种公式的一组符号和规定怎样由符号构成公式的一组规则，合在一起便构成一个人工符号语言。当把符号和公式看作是没有意义的具体对象，只研究公式之间的关系时，这种研究称为语法的；当对符号和公式予以解释，例如把一部分符号解释为命题联结词，把某些符号解释成取真假二值为值的变元，并在这种解释下研究公式的意义时，便称这种研究为语义的。命题逻辑在描述和研究符号语言、即对象语言时,还要使用另一种语言,即元语言。元语言通常由某种自然语言并加上若干专门符号构成。关于整个命题逻辑系统的性质和系统特征的研究，称为元逻辑的研究。由元逻辑研究得到的关于整个逻辑系统的定理称为元定理。
命题形式 用特定的语词把命题连接起来可以构成复合命题；从中起连接作用的语词称为命题联结词；构成复合命题的命题称为支命题，支命题本身也可以是复合命题。命题逻辑研究复合命题的逻辑形式、推理形式和公理系统。传统逻辑关于假言推理、选言推理和二难推理等的理论，都属于命题逻辑的范围。复合命题的形式可以公式明晰地表示。在经典命题逻辑里，这种公式通常由以下 3种符号组成：①表示任意命题的命题变元，它们是 p,q,r,p1 ,q1 ,...；②5个基本的命题联结词,即塡、∧、∨、→、凮；③用来显示公式的结构层次的括弧(,)。5个基本的命题联结词依次称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词和等值词；在汉语中，它们通常分别用语词"并非"、"并且"、"或者（可兼的）"、"如果...则"以及"当且仅当"表达，在这5个联结词中,否定词属一元联结词，其余 4个都是连接两个命题以构成复合命题，称为二元联结词。复合命题的形式都可以用这3类符号构成的公式表示。如塡p表示否定命题的形式，p∧q、p∨q、p→q、p凮q，分别依次表示合取、析取、蕴涵和等值命题的形式。它们是和 5个基本的联结词相应的5个基本的复合命题形式。
命题联结词的解释和真值函项 经典命题逻辑把命题看成或者真的或者假的，认为复合命题的真假可唯一地由其支命题的真假决定。命题的真和假叫做命题的真值。命题变元是取真值（真或假）为值的变元，也就是以真值组成的集合为变域的变元。联结词是施于命题以形成命题的算子，特别是从命题的真值得出命题真值的算子。命题形式是一种真值函项，即以真值集为变元的定义域，并以真值集为值域的函项。这种真值函项可以用真值表定义。5个基本命题形式的真值表为:这个真值表规定了其中联结词的意义。其中的1代表真，0代表假。从表中可以看出这 5个基本命题形式的值怎样由其中变元的值决定。例如，最左边的表表示，塡p 的值由p的值决定，当p的值为 1时，塡p的值为0；当p的值为0时，塡p的值为1。这也就是对塡的解释。
联结词可以相互定义,例如,∨可用塡和→定义，即把p∨q定义为塡p→q。事实上，所有联结词都可以用某些基本联结词定义出来。例如，所有联结词都可以归结到塡和→，或者塡和∧，或者塡和∨。
常真式 常真式或称重言式是经典命题逻辑的一个公式，称为常真的。如果其中的命题变元不论赋予真值1或0，该公式的值常为 1；如果对命题变元的每一组真值赋值一公式的值常为 0，此公式便称为常假式或矛盾式。命题逻辑的公式可以分为常真的、常假的、以及对命题变元的某些组赋值取值1而对其它赋值取值0的公式3种类型。常真式表达着命题逻辑的定律（规律）,具有特殊的意义。
例如p∨塡p、p∧(p→q)→q，都是常真式。前者表示排中律，后者是表示肯定前件假言推理的推理形式的公式。一个公式是不是常真的，可以用真值表方法确定，即由依据 5个基本命题形式的真值表所逐步构造出的真值表确定。下表可以说明怎样用真值表确定一个公式的真值，确定一个公式是否常真。表中最后一横行圈内的数码表示逐步求值的次序，纵列⑦是要确定其是否常真的公式的真值,因其全部是1,从而表明该公式常真,是一常真式。我们用元语言符号Ａ 、Ｂ等表示任一公式,用喺Ａ表示Ａ是一常真式。还用Ａ喺Ｂ表示对于Ａ和Ｂ中出现的命题变元的每一组赋值,当Ａ的值为1时,Ｂ的值必定也是1。喺与公理系统所用到的儱不同，前者是语义符号，而后者是语法方面的符号，它表示在系统中可以证明。按照常真式的定义，显然有：一公式 A常真，当且仅当它的否定塡Ａ常假。
公理系统 经典命题逻辑的常真式为数无穷，它们在一定意义上都表达逻辑定律。为了系统地研究和掌握这些逻辑定律，需要对它们作整体的考虑，将全部常真式都包括在一个系统之中。为此，可用公理方法将命题逻辑的全部定律系统化，从而得到一种形式系统，即称为命题演算的公理系统。在一个形式系统中，其语法部分，包括作为出发点的初始符号、形成规则、公理和变形规则。以下陈述的是经20世纪波兰逻辑学家J.卢卡西维茨简化过的弗雷格的系统。该系统的初始符号为：①逻辑常项，即命题联结词，用塡、→表示；②命题变元，以p、q、r、p1 、p2 ,...表示;③括弧,即(,)。该系统的形成规则，在于规定怎样组合起来的有穷长的符号序列是系统中的合式公式。这个系统的形成规则有 4条：①单独一个命题变元ｘ 是一合式公式； ②如果符号序列Ｘ是合式公式，则塡Ｘ是合式公式；③如果符号序列Ｘ,Ｙ是合式公式，则(Ｘ→Ｙ)是合式公式。④只有适合以上 3条的是合式公式。这个系统的公理共有 3条，即：
① 儱p →(q →p)；
② 儱(p →(q →r))→((p→q)→(p →r))；
③ 儱(塡p →塡q)→(q →p)。
变形规则也称推理规则。变形规则有两条：①代入规则是将一公式 A中出现的命题变元π处处代以公式 B，得到公式, 称为代入,以"如果儱Ａ,则儱"表示。②分离规则为"如果儱Ａ→Ｂ并且儱Ａ，则儱Ｂ"。
命题联结词∧、∨和凮可以通过定义引入，把
(Ａ∧Ｂ)定义为塡(Ａ→塡Ｂ)；
(Ａ∨Ｂ)定义为(塡Ａ→Ｂ)；
(Ａ凮Ｂ)定义为(Ａ→Ｂ)∧(Ｂ→Ａ)。
在上述规则、定义中出现的符号 ｘ,X,Y,Ａ,Ｂ等，是元语言符号。ｘ表示任意命题变元；X, Y 表示任意的符号序列；Ａ,Ｂ表示任一合式公式；儱是语法符号,表示紧跟在儱后面的公式是系统中的定理。
公式的有穷序列 Ａ1,Ａ2,...,Ａn称为是一个证明，如果其中每一Ａi(i=1,2,...,n)或者是公理，或者由在先的一个公式应用规则R1而得，或者由在先的两个公式应用规则R2而得。一个证明 Ａ1,Ａ1,...,Ａn也说是它的最后一个公式Ａn的证明。
一个公式Ｂ是系统中的定理,如果它有一个证明，即存在一个证明 Ａ1,Ａ1,...,Ａn，而Ａn即是 B。根据定理的定义，每一公理都是定理。一个公式是定理，当且仅当它是可证明的。
定理和可证明性都是语法概念。
这个系统的语义，即对符号和公式的解释，就是前面对于命题联结词和公式所作的解释，这个解释称为标准语义。此外还可作其他非标准的解释。在标准解释下，所有公理都是常真式，并且变形规则保持常真性，即把变形规则应用于常真公式而得到的公式也是常真式。由此表明，所有定理都是常真式， 也就是"如果儱Ａ，则喺Ａ"。这是关于这个演算系统的一个重要的元定理,称为可靠性定理。它的另一个重要的元定理是完全性定理，即凡常真式都是定理,可表示为"如果儱Ａ,则儱Ａ"。该系统还有一个重要的性质，即：在这个系统中不可能同时证明一个公式Ａ及其否定塡Ａ。这个性质称为一致性。
自然推理系统 命题逻辑也可以用另一种形式实现系统化，即构造自然推理系统。自然推理系统是一种逻辑演算。它与公理系统相比，是在自然推理系统中，并不给出公理而只给出一组适当的初始推演规则。这些推演规则规定从什么前提能推出什么结论，或者规定在某个推理关系成立的条件下，另一个推理关系也成立。一个与简化过的弗雷格公理系统相应的自然推理系统，它的初始符号和形成规则和前者相同。这个系统共有 5条初始推演规则：
① Ａ1,Ａ1,...,Ａn儱Ａi（i=1,2,...,n）,肯定前提规则；
② г儱Δ儱Ａ（Δ不空），演绎推理传递规则；
③ 如果г,塡Ａ儱Ｂ,并且г,塡Ａ儱塡Ｂ，则г儱Ａ,否定词消去规则，或称反证律；
④ A→Ｂ,Ａ儱Ｂ，蕴涵词消去规则；
⑤ 如果г,Ａ儱Ｂ，则г儱Ａ→Ｂ，蕴涵词引入规则。
在这5条规则中，Ａ、Ｂ表示任一公式，г、Δ表示公式序列，儱表示前提和结论之间的推理关系。规则②表示从г能推出Δ，而从Δ能推出 A，则从г能推出 A，表明推理关系是传递的。在这一自然推理系统中，联结词∧、∨和凮也可以通过定义引入，并且从初始推演规则导出关于∧、∨和凮的推演规则。该系统对每一常真公式Ａ，都有儱Ａ，也就是说,凡常真式,都能不需前提而用推演规则推出；并且,如果儱Ａ成立,则Ａ为常真式。这个自然推理系统与简化过的弗雷格的系统有如下关系，即一个公式 A是公理系统中定理，在自然推理系统中就有儱Ａ；反之,如果儱Ａ成立，则Ａ是公理系统中的定理。同时，这个自然推理系统也具有一致性、可靠性和完全性这几个重要的元逻辑性质。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条