补充资料：Fourier级数

Fourier级数
Fourier series

po“(1923，1926)构造的.后来证明，这个结论对函数本身的Founer级数以及它的共辘函数的Fou们Ler级数都成立. 早在1915年，H .H .JI邓皿就猜测每个L:中函数的Fol刃门er级数几乎处处收敛.在很长的时间里，在这个方向上只得到部分的结果，表明了这个问题是非常困难的，直到19肠年，L.Carl。幻n才证明了上述猜测的正确性(见Car胜阴l定理(〔滋r此on此-0~)).当p>1时L，中函数的Founer级数也几乎处处收敛.K。脚oropoB的反例表明，从空间乌的观点看这个结果不可能再有任何进一步的加强. 因为Founer级数的部分和并不总是收敛的，所以也可考虑用部分和的某种平均值作为f议的比级数求和(sumimtioll ofFo~senes)并用它表示函数.最简单的例子之一是玛行和(明衍suln)，它是Fo~级数的部分和、*(工x)的算术平均值: 。(f，二)一生一夕、。(f，、). 月十Ik舀0对每个可积函数f，氏(f，x)几乎处处收敛到f(x)，而且，在f的每个连续点x收敛到f(x);如果f处处连续，则它们一致收敛. 根据刃知咖y一Jly3II.定理(块句。y一Lu刁n山仪〕~)，如果三角级数(2)在一个正测度集的每一点x上绝对收敛，则级数 万(la*1+l”*l)(5)收敛，从而级数(2)对所有的x绝对收敛.因此，(2)的绝对收敛性等价于(5)的收敛性. 5.N.玫n巧沈m(5.N.及n芍比恤)(1934)证明了，如果函数f的连续模。(f，的满足条件 于一廷一。。f.李、<、 ·廿1丫。--一，一则f的Fo~级数绝对收敛.这一条件不可能减弱:设。(占)是使得级数 呈旱一田(告) ·分.杯一‘。，发散的函数类的连续模，则存在函数f，其连续模满足。(f，的簇田(占)，但f的Fo~级数不绝对收敛. 特别地，若函数满足阶数二>1/2的U脚由血条件(LIPSc加tZco心i由n)，则它的Fo~级数绝对收敛.而当仪二122时并不一定绝对收敛(氏n书hte恤，1914). 如果f是有界变差函数且其连续模满足条件于上后下丁、<二.(6) 。二1月V月则f的Fo~级数绝对收敛(见[91)，条件(6)已不可能减弱(见【10]). 和以上的讨论不同，下面的定理对于单个函数给出绝对收敛的判别法.函数f的Four呢r级数绝对收敛的充分必要条件是级数 呈旱一e·(f) 启、石收敛，其中e。(f)是f用包含n阶谐函数在内的三角多项式依L:度量的最佳通近(b留taPpro汕nation)(见[1 11). 级数(2)可以看作幂级数 夸+*暑1‘·厂‘”*’“’“’的实部.虚部 艺(一b*邸低+a*s示kx)(7) 食=l称为级数(2)的共扼级数. 设f‘L:并设(2)是它的Fb址政级数，则对几乎所有的x，函数 六x、一。上〔五竺竺匕八些卫~、: J、‘’产。二勒7r了2 tan(t/2)存在(H.M.np”Ba月oB，1919).函数f称为f的共扼函数，它不一定是可积的.但是，如果f任L，，则j的Fo~级数就是级数(7)(B.H.CM叼p”oB，1928). 在许多情况下，可以从函数f或它的Fo~级数(2)的性质推断出共扼级数(7)的这种或那种性质.例如，依L，度量的收敛性、在一个点上的收敛性或可和性、几乎处处收敛，等等. 也可对Founer系数加上某些特殊的假定来研究Fol止犯r级数的性质.例如缺项三角级数(场~卿位-即non‘州c~)，其中非零的系数只是那些脚标为。二的项，而。.构成一个缺项序列(h以川团卿se-q迸以笼)，即n。、1/n，)又>1.特殊级数的另一个例子是具有单调系数的级数. 上面所谈到的都是关于形式(2)的F’O切交r级数.对于关于重排的三角函数系的Founer级数来说，关于取通常次序的三角函数系的Fou泊‘r级数的某些性质不再成立.例如，存在一个连续函数，它的Four吧r级数经某种重排后几乎处处发散(见〔121一【巧1). 多元函数的Four〔r级数理论(多重Fou〔睑r级数)有较小程度的发展，多维情形的部分结果与一维的类似.但存在本质的差别.设x=(x，，…，‘)是N维空间中的点，k二(k1，…，气)是整数坐标的月维向量，(k，x)=kl xl十…+kNx、.设函数f(x)对每个变量以2兀为周期且在N维方体[0，2司N上是玫比g尤可积的，则关于三角函数系的FoU『ler级数是 干、e’‘“”，(8)其中求和遍历所有的k， 2兀2沈 e二一生一f…f、(x、。

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