补充资料：基数特征

基数特征
cardinal characteristic

　　基数特征l口川in习由肚以触‘stic;械朋.留幽x娜翔盯e-卿c“.，〕，拓扑空间的 使每个空间对应一个无穷基数(cardinal n.，m-ber)的函数，它在同胚空间上取相同值.基数特征七1称为基数不变量(以rdinal invarlants).基数不变量的定义域是所有拓扑空间类或它的某一子类.「列基数不变量是在一般拓扑学发展的初级阶段产生的.设无为任意拓扑空间.一个平凡的不变量是它的基数(c ardinality)lX}，即它的所有点的集合的基数.它的权(w eight)w(X)是X的基(b韶e)的最小基数.它的密度(de““itv)d(X)是X的稠子集的最小基数1 Cyc月班I熬(Suslin number)e(X)是最小的天;穷基数:.它使得每一个两两不交的非空开集族的基数不超过T.Linde16f数(Lindel6f number)l(X)是最小的无穷基数T，它使得X的任意开覆盖都有一个基数簇T的子覆盖.这些简单的概念以明确的方式出现在基本定理和问题中，从而直接显示出它们的重要性.例如:有可数权的正则空间是可度量化的(yP‘叨H一THx0HoB定理(Urysohn一Tikhonov theorem)，1925);紧Hausdorff空间可度量化，当且仅当它的权可数;紧群空间X的CyC田正数是可数的;对每个可数权空间x，它的LindelJ数，(X)是可数的.C界知川问题(S uslin Prob-lem)—满足c因=议。的每个有序连通紧Hausdorff空间X是否与区间[0，l]同胚—引出了两个基数不变量:密度和CyC知川数之间的关系问题.在上述假定之下，为了正确解答CyC知川问题只要证明d(X)镬“因就行了.基数不变量的比较问题—它的解决，就像上例那样明显，对空间结构的确定结论具有关键的意义—是基数不变量理论的中心.之所以如此，是由于基数不变量概念的本质属性所致:基数不变量的值是基数，它的类是以数量来良序化的.因此，人们可以试图比较任意两个基数不变量毋，和叭的值.于是，一系列与此有关的问题出现了.对于所有的X，都有妈(X)(叭详)吗?对哪些X，叭(X)蕊鸣伏)呢?什么时候叭(X)=叭(X)呢?等等. 对于基数可以进行如下运算二相乘、相加以及它们的自乘.相应地，对基数不变量也可以进行如下运算—它们作为函数相乘和相加等等.于是，利用运算就提供了比较基数不变量的新的可能性.这里永远有 。(x)续d(X)续w(幻，l(X)续*(X)，即CycJ呱数不超过密度，密度不超过权，Lindel6f数不超过权.但密度和Lindel6f数在下述意义下不可比较:存在空间X，Y和Z，使得 d(幻c(x)的空间x. 每个遗传可分空间是否为Linde场f的，每个遗传Lindel苗空间是否为可分的，这些问题引出了很多研究.利用各种附加的集合论假定，特别是连续统假设(continuum hypothesis)，造出了许多例子.Tedor优vi万([A1」)证明了命题“每个遗传可分空间是Lindel拼的”与集合论中常用公理相容.至于更多的信息及其他的最新发展可见[A31中很多章节，特别是1，2章，以及[A41.
　　

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