补充资料：度量同构

度量同构
metric isomorpWsn

　　度最同构【“吮苗c如阅哪州画:Me印。，ee以盛，3oMop-枷3M} 两个度量空间(X:，男.，产，)和(XZ，忍2，召2)之间的度量同构是一个一一映射f:X:~XZ，使得可测集的象与逆象都可测，而且测度相同(这里忍‘是集合X*的子集构成的某个B以〕l，代数或。环，戮中的元素称为可测的，拼，是黔，上的一个给定测度).还有一个更广泛的概念:测度空间的(度量)同态(1拙州c加mo湘rphism)，也就是一个映射f:X，~XZ，使得可测集的逆象可测，而且测度相同.如果(X，，黔，，拜，)=(XZ，刃2，产2)，则用(度量)自同构(n℃州cautomorphism)与自同态(即由加甲hism)来代替同构与同态. 在测度理论中，常常忽略测度为零的集合.同这种倾向相对应，所有上述观点有一个(最初就被利用)“模o”的样式.比如，设N，C=X，，月‘(N:)=0(i=1，2)，并设f:X八N:~XZ\N:是度量同构，那么就称f是原来两个度量空间的模0同构(“模O”常被省略). 对X‘中给定的一些对象(子集，函数，变换以及这些构成的系)，可以给出下面论断一个解释:在度量同构f下，这些对象互相转换.因此可以称f是相应对象的度量同构，也可以称它们是模O度量同构.它的意思是，对某个测度为0的集合N‘，相应对0‘可以被认为是X八N.中的对象01(对于变换，意为X八N‘对这些变换不变.而对子集和函数，这对任何N诬都有意义:取考虑的子集和X八N.的交或把函数限制在x八N‘上)，而且f是对象叼的度量同构.称所有互相模O度量同构的对象构成的类为一个(度量)型(优tnc tyl姆);该类中的两个对象被称为同型. 与(X，，男，，拜.)相联系的是Hilbert空间LZ(X:，黔‘，拜，)，在这个空间中，除了通常的Hilbert空间结构以外，还有一般的函数乘法运算(其实也不是总有定义，因为LZ函数的乘积不一定属于LZ).还有BOol测度在代数叭‘，它是通过把对称差为零测集的集合视为相同得到的(也就是与零测集环的商).模0度量同构f诱导出BOol测度代数叭‘的一个同构以及附比找空间LZ(X‘，拜。)的一个酉同构，而且这个酉同构也是乘性的(m妞ltiplica石ve)，也就是说，把原象的乘积映成象的乘积.如果(X，，黔‘，召‘)是I月比-笔此空间(仕比g姐sPace)，则反过来也是对的:所有玫幻1测度口代数叭‘的同构，或者空间LZ(X，，群，)的可乘酉同构都是通过某个模0度量同构诱导出来的.I补注】要想了解更多，也可参见遍历理论(e粤汕cU切ry).事实上修饰词“度量”已不再用，只是简称为测度空间的同构(is。心rp恤mof~ure spaee)，测度空间的同态(homorrlo甲恤mof~眠sPace).等等.
　　

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