补充资料：Thom突变

Thom突变
Than catastrophes

厂簇4，则c簇2. 芽的有限决定性(或称充分性)，粗略地说，就表示，它除了相差光滑的坐标变换外可由它的节(jet)决定，更准确地说，芽f称为k决定的(k一dete1Tnl·ned)，如果每个与f有相同k节(即肠叨。r级数直到k阶均相同)的芽f、都是右等价(石沙t一equl论】eni)于.厂(即五=f。沪，切是一个微分同胚在0的芽;见【2」).一个芽是有限决定的，当且仅当它的余维数为有限.特别是，若codlm=:，则f是(;十2)一决定的(从而当r成4时它是6一决定的). 叨IOm突变和一般位置(罗肥邝1 position)情况相反，是退化奇点(即H郎e式在该处退化)，它们可以用小扰动除掉，如上面所述.然而，在许多有实际重要性且理论上也很重要的情况下，人们感兴趣的不仅是单个对象，而是一族含有一些“控制”参数的对象.对参数的每个个别固定值可以除去的退化奇点，对于这一族对象作为一个整体则可能是不可除去的(也可以在这个意义下考虑Tbom突变的稳定性).然而这时自然的研究对象就不再是奇点本身，而是一个族(即奇点的形变)，奇点在其中当参数变动时是不可除去的(而是会分裂，即出现“分岐”).但实际情况是，在许多情况下，一切可能的形变之研究可以归结为研究一个单个的形变，它在一定意义下是很大的，而一切其它形变均可由它得出.这种形变称为通用的(versal).而它们反过来，又可以从万有的(unlversal)(或称仅有的(mini哪al))形变得出，后者的特点是其参数空间有最小可能的维数.这里最重要的结果是Mather定理(MaUlerthcolem):奇点f具有泛形变，当且仅当其余维数为有限. 芽f(x)的形变F(x，u)，x‘R”，u任Rr且尸(x，O)=f(x)，可由下式给出 F(x，u)=f(x)+b lu:+…+bror，其中(bl，…，b，)是空间m/<刁厂>一个基的任意代表元素.1llom突变相当于含至多四个参数的形变. 在应用上很重要的是所谓分岐集(bi加兀ationset)或李导毕(sing止lrset)，D，一{(x，。)。R一u:己、f暴万夕参 图lb 令阂.、Ic刀翔1突变[刀长加。恤击刚璐厂肠Ma留ac印0如，] 可微映射的奇点(sing山aritl巴of differentiable map-P习1那)，其分类是R.Thom(【11)宣布的，按其梯度动力系统及类似的可微函数的余维数簇4的临界点(critical Point)表来进行.T】10m的结果原来的陈述是:一般的四参数函数族是稳定的，而在临界点附近，其性态除相差一个符号和变量变换以外，是以下七种情况之一(见表).葬罐 相应于们lom突变的芽(罗nn)都是有限决定的(俪tely detennined)(确切地说，是6一决定的，即在适当的坐标之下，它们相应于次数簇6的二元多项式). 余维数codinl是一个临界点复杂性的尺度.codim厂的函数f之任意小扰动都只会得出至多有;个复临界点的函数奇点(singul如ty)(即一个芽f使得f(0)‘Df(O)=O)的余维数(codin℃nsion)就是数dillln、/<口f>，其中，“={g:g(0)=0}，<日f>则是由芽日f/口x‘生成的理想.例如，如果f=xN，则

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