1) symmetrical PB equation
对称PB方程
3) symmetric Duffing equation
对称Duffing方程
1.
The distribution of symmetric periodic solutions of the sublinear symmetric Duffing equation;
一类次线性对称Duffing方程对称周期解的分布
5) symmetry property of equation
方程对称性
补充资料：对称核积分方程
积分方程的核K(y,y)若与其共轭核相同,即，(x,y∈[α,b])，则K(x,y)称为对称核，或埃尔米特核。具有对称核的第二种弗雷德霍姆积分方程
(1)称为对称核积分方程，或简称对称方程。
对称核的一切特征值都是实的。不同的特征值所对应的特征函数是正交的。对称核的特征值是可列的。对应于每个特征值的线性无关的特征函数是有限的，因此，可就对应于同一个特征值的最大个数的线性无关特征函数进行正交标准化，从而，线性无关的特征函数的全体构成一个正交标准的特征函数序列。
为了方便，通常规定一个特征值仅对应于一个特征函数（若某一特征值对应于n个线性无关的特征函数,则视该特征值有 n个）。于是可按特征值的绝对值大小排列：
与之相应的正交标准的特征函数序列为
(2)对称核K(x,y)的特征函数序列(2)也是 K(x,y)的任意m次叠核Km(x,y)的特征函数序列。Km(x,y)的一切特征值所成之集与K(x,y)的一切特征值的 m次乘幂组成之集相同。
D.希尔伯特和E.施密特证明了关于对称方程的一个基本定理，即每个非零的对称核至少有一个特征值。设,记,则对称核最小特征值 λ1的绝对值的倒数等于()的绝对值｜()｜在条件(φ,φ)=1下的极大值，且当特征函数φ1(x) 与最小特征值 λ1对应时，有。类似地,有，其中φ还同时满足(φ,φm)=0，m=1，2,...,i-1。应用这个定理可以求特征值的近似值，如常用的里斯方法即以此为根据。
设λ1，λ2...是对称核K(x,y)的一切特征值，φ1(x)，φ2(x)，...是相应的正交标准的特征函数序列，h(x)是[α,b]上平方绝对可积的函数，而且积分关于x均匀有界，则函数 可按正交标准的特征函数序列 {φi(x)}展成为绝对一致收敛的级数：
，式中。这就是著名的希尔伯特-施密特展开定理。
根据这个定理，可得到关于对称核及其叠核的展开式:，同时关于两个变量是收敛和均值收敛的。，当m≥3时，它同时关于两个变量x、y是绝对一致收敛的，而当m=2时,任固定一个变量则对另一个变量是绝对一致收敛的。
若对称核K(x,y)是连续的，则有更好的结果，即梅瑟尔定理：设K(x,y)只有有限个正的或负的特征值，则同时关于两个变量x、y是绝对一致收敛的。
令。由希尔伯特-施密特展开定理可知，。若对任意的平方绝对可积的函数p(x),恒有J≥0，则称K(x,y)是正核;若J>0，则称K(x,y)是正定核。否则使J≤0(J<0)的核称为负核(负定核)。可以证明，对称核为正（负）核的充分必要条件是它的一切特征值都是正（负）的。对称正(负)核为正定（负定）核的充分必要条件是核的特征函数序列是完备的。
希尔伯特－施密特展开定理还可用来解非齐次对称方程。若λ不是核 K(x,y)的特征值;则非齐次方程(1)有惟一解φ(x), 且可表为，其中级数是绝对一致收敛的。若 λ是核K(x,y)的某个特征值，即 λ=λp，它的秩为q，则非齐次方程 (1)当且仅当,(m=p+1,p+2,...,p+q)满足时才可解，且其解φ(x)可表为
(1)称为对称核积分方程，或简称对称方程。
对称核的一切特征值都是实的。不同的特征值所对应的特征函数是正交的。对称核的特征值是可列的。对应于每个特征值的线性无关的特征函数是有限的，因此，可就对应于同一个特征值的最大个数的线性无关特征函数进行正交标准化，从而，线性无关的特征函数的全体构成一个正交标准的特征函数序列。
为了方便，通常规定一个特征值仅对应于一个特征函数（若某一特征值对应于n个线性无关的特征函数,则视该特征值有 n个）。于是可按特征值的绝对值大小排列：
与之相应的正交标准的特征函数序列为
(2)对称核K(x,y)的特征函数序列(2)也是 K(x,y)的任意m次叠核Km(x,y)的特征函数序列。Km(x,y)的一切特征值所成之集与K(x,y)的一切特征值的 m次乘幂组成之集相同。
D.希尔伯特和E.施密特证明了关于对称方程的一个基本定理，即每个非零的对称核至少有一个特征值。设,记,则对称核最小特征值 λ1的绝对值的倒数等于()的绝对值｜()｜在条件(φ,φ)=1下的极大值，且当特征函数φ1(x) 与最小特征值 λ1对应时，有。类似地,有，其中φ还同时满足(φ,φm)=0，m=1，2,...,i-1。应用这个定理可以求特征值的近似值，如常用的里斯方法即以此为根据。
设λ1，λ2...是对称核K(x,y)的一切特征值，φ1(x)，φ2(x)，...是相应的正交标准的特征函数序列，h(x)是[α,b]上平方绝对可积的函数，而且积分关于x均匀有界，则函数 可按正交标准的特征函数序列 {φi(x)}展成为绝对一致收敛的级数：
，式中。这就是著名的希尔伯特-施密特展开定理。
根据这个定理，可得到关于对称核及其叠核的展开式:，同时关于两个变量是收敛和均值收敛的。，当m≥3时，它同时关于两个变量x、y是绝对一致收敛的，而当m=2时,任固定一个变量则对另一个变量是绝对一致收敛的。
若对称核K(x,y)是连续的，则有更好的结果，即梅瑟尔定理：设K(x,y)只有有限个正的或负的特征值，则同时关于两个变量x、y是绝对一致收敛的。
令。由希尔伯特-施密特展开定理可知，。若对任意的平方绝对可积的函数p(x),恒有J≥0，则称K(x,y)是正核;若J>0，则称K(x,y)是正定核。否则使J≤0(J<0)的核称为负核(负定核)。可以证明，对称核为正（负）核的充分必要条件是它的一切特征值都是正（负）的。对称正(负)核为正定（负定）核的充分必要条件是核的特征函数序列是完备的。
希尔伯特－施密特展开定理还可用来解非齐次对称方程。若λ不是核 K(x,y)的特征值;则非齐次方程(1)有惟一解φ(x), 且可表为，其中级数是绝对一致收敛的。若 λ是核K(x,y)的某个特征值，即 λ=λp，它的秩为q，则非齐次方程 (1)当且仅当,(m=p+1,p+2,...,p+q)满足时才可解，且其解φ(x)可表为
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条