补充资料：Stiefel流形

Stiefel流形
Stiefd manifold

s“dU流形「SOdull.成fo址:111，扣二Mooroo6p。，e}，实的 n维EuClid空间中的规范正交火标架的翻衫V。，*.可以类似方式定义复S石efel流形体。，*和四元数Stiefel流形戈，*.5石efel流形是紧实解析流形，也分别是经典紧群o(n)，U(八)和Sp(n)的齐性空间.特别是，V，.、，一望一’，w。.，一夕”一‘，戈、二少一’均为球面，sti创re】流形V。，2是切于S”一’的单位向量的流形，StieJ比1流形V，，。，碎。，。和戈.。与群o(n)，U恤)和sp(。)相同，玖，。一，与群so(。)相同.有时也考虑R”.C”和H”的所有可能的k标架所成的非紧Stiefel流形. 这些流形是E，Stjefel在「l]中考查光滑流形上的线性无关向量场组时引人的.由〔11开始，S企fel流形的拓扑研究后来引至完全地计算出其上同调环(见[2]，13]).特别是H‘(w。.*，Z)=Az(xZ。一，，xZ。一，，“‘，xZ(。一*)十，)，H‘(戈，*，Z)=Az(x4。一:，x‘，一，，…，x4(。一*)十3)·H‘(V。，*，22)是一个交换代数，其生成元是x。一*，‘”，x。一，并有关系 〔x‘二.若i+j‘n一1. x‘X，一飞。，‘若‘+j>”一‘(以上x，表示阶数为l的元).维数分别不超过n一k一l，2(n一k)和4(n一k)+2的实、复和四元数Stiefel流形是非球的，而且二L。。L、二丁z，若“一1或。一、为偶， t 22，若k>1或n一k为奇; “2(。一*)+.(w。.*)兰二。(。一小3(戈，*)全2.S石efe」流形其他同伦群的计算见【SJ.【补注】关于S说fe1流形的同伦群，亦见汇A31. s应业l流形气，*，w。*和戈，*的另一个(更好的)常用的记号是V*(R”)，玖(Cn)，V*(H.)，并可推广为V*(E)，其中E是一个适当的向量空间. 这些Stiefel流形作为齐性空间分别等于 ，，，~，、O(n)50(n) 认(R“、二一二_了一、，·， O(n一k)50(n一k)’ t，，。。、U(n、SU(n、 V，(C”、“一二__丫“、‘·， U(n一k)SU(n一k)’ V，(H·、一鱼丝些上一. SP(。一k)’自然的商映射O(昨)~V*(R”)等等就是将一个规范正交等等的矩阵映为该矩阵前k行所成的k标架， 从Sti日Fel流形到Gra，刀陇..流形(Gn处洛订以nn仃心垃扔】d)有典范的映射 V*(E)~Gr*(E)，它把一个丸标架对应于它所张的k维子空间.这就把G门朋灯以nn流形表为齐性空间，例如 or二(R·卜—述叹心‘一一 一“、一’O(k)xo(n一k)等等. 给定空间X的一个n维(实、复、四元数)向且丛(狱tor bun山e)E，相关的S石efe!丛(S企felbUnd】e)Vk(E)在x〔X上的纤维就是V*(E*)，这里E二是E在x上的纤维.类似地，也有Gn处洛~丛(Gn叉粥~b切侧叱)Gr*(E)，它在xCX上的纤维是G招出几以nn流形Gr*(E，).

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