补充资料：下调和函数

下调和函数
subhannonic fimction

　　下调和函数【，创.~五.币叨;e西r即Mon“tteeK明中押翔“，]，亦称次调和函数 在Eudjd空间R”(n)2)的区域DCR”中定义的、关于点x=(x!，二，戈，)的函数“=。(x):D 卜卜的，的)，且有下面性质:I)u(x)在D中上半连续;2)在每一点x。‘D对任意小的值厂>0满足: “(x。)毛，(。二、_;、=一一上f。(、、tj。(丫丫 s。r、(井，r)这里I(。;x。，:)是函数“(x)在以x，，为心，r为半径的球面S(x‘、，r)上的平均值，而s。=2兀月‘’r(n/2)是R”中单位球面的面积;3)。(x)笋一二(有时去掉这一条件).在下调和函数的定义中，球面上的平均值I(。;x(，，:)可以换成球体B(x。，r)上的平均值 ，(·;一，一带。《工r》·‘·，“·‘·，，其中v。=s。/。是R”中单位球体的体积. 下调和函数的下述等价定义解释了“下调和函数”命名的由来，它把上述条件2)换成2‘)二如果△是D的相对紧子区域，。(x)是△中的调和函数并在闭包压上连续，且在边界口△上满足 u(x)蕊v(x)，(l)则不等式(l)在△中处处成立(v(x)称为下调和函数u(x)在D里的调和强函数(hamlo血n划ofant)).如果函数u(x)属于c，(D)类，则它在D中为下调和的必要与充分条件是，经U内沈算子(加plaCeope功tor)作用的结果△“在D中非负. 下调和函数的概念实质上在H.Poin口元的扫除法(恤城归罗n祀thod)中已阐述.F.比由邵(【1」)关于多复变解析函数论的工作也涉及下调和函数;而对下调和函数的系统研究始于F.Ri巴z(【2』).下调和函数与单(或多)复变量:=(::，…，:。)(n)l)的解析函数f(:)之间关系密切.事实上，解析函数的模}f(:)}与模的对数inlf(:)I都是下调和函数，因此可利用下调和函数来研究解析函数.另一方面，条件2’)表明下调和函数可以看作单个实变量的凸函数的类似物.见凸函数(实变量的)(con狱允月ction(、)l’:‘，℃:、l珑L一iable)). 下调和函数的简单性质. l)如果“，，…，。”是D中的下调和函数，几.， ，瓜为非负数则线性组合艺:._，、*u*也是D中的下i).tJ和函数. 2)下调和函数有限族遥u*}芬一l的上包络5叩1“*(、):l簇k簇m}是下调和函数.如果下调和函数龙限族的上包络是上半连续的，则它也是下调和函数. 3)一致收敛的与单调减的下调和函数序列都收敛于下调和函数. 4)如果。(x)是D中的下调和函数且沪(们是函数:，的值域E上的、凸的不减函数，或者当u(x)是D中的调和函数而华(“)是E上的凸函数时，则明恤(x))是D中的下调和函数.特别地，若“(x)是D，t:的下调和函数，则。

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