补充资料：含算子环

含算子环
ring with operators

a(“口一口时=0.这就是通常仅考虑交换环上的代数的原因.有时也用向量代数(从戈勿r al罗bm)这一词汇来代替(环上的)代数.但在现今，向量代数和线性代数(】放斑a】罗bra)这两个词汇极少用于环上的代数. 对于非交换环上的代数，双线性性质(2)弱化为(ab):=a(b时.亦见代数(a」罗b拍)和环(们飞).含算子环[吨初山伪羚口tors;onep川pnoe.月城01，含算子域艺的环(nngwithdomalnofoPelators) 一个环(nng)，在其上(按合成的外法则)定义了给定集合Z的元素对环的元素的一个作用(“乘法”)，满足下述公理: (a+b)“二a“+b“，(1) (ab):=(a:)b二a(b:)，(2)这里“是艺的元素，a，b，a“，b“是环的元素.这样，算子作用成加群的自同态，且与环元素的乘法可交换.一个带算子域艺的环，或更简洁地，一个工算子环(opeJ旧tor nng)，可以视为一个泛代数(画掀-sal司罗brd)，带两个二元运算(加法和乘法)，带一个一元运算的集合艺，如同通常的环恒等式一样，由恒等式(l)和(2)相联系.与含算子群类似，以相同的方法可定义艺容许子环(详爪止洛iblesubring)，艺容许理想(pe~i比ldeal)，艺算子同构(叩emtor isomor-phism)，和艺算子同态(。perator homomorphjsm)的概念.见算子群(opeI’atorgro叩).如果艺算子环R含有单位元，则环R的所有理想和所有单侧理想都是沉容许的. 环R被称为含算子环艺的环(nng俪tharingofoperators)，如果它是一个算子环，它的算子域名本身也是一个结合环，并且对任何“，刀〔万，“6R，以下等式成立: a(“+刀)=a:+a刀，(3) a(“刀)“(a“)刀.(4) 含算子环的环也可以定义为一个环，它同时是一个艺模，并且满足公理(2).每个环可以自然地视为整数环上的算子环. 对R的所有元素“和艺的所有元素:，刀，元素a(:口一口“)是R的一个零化子(盯面拓h幻r).因此，如果R是一个没有零化子的含算子环，则它的算子环Z必定是交换的. 最常研究的含算子环其算子域是一个有一单位元的结合交换环.这种环通常被称为交换环上的代数，也称为线性代数.最常研究的线性代数是域上的代数;这些代数的理论同环(不带算子)的一般理论平行地展开.【补注]其实，对于含非交换算子环R的环A，双线性性质(1)，(2)和模性质(3)，(4)实际上是不相容的，因为这要求对所有a，b〔A，“，刀〔R，b·

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