补充资料：Понтрягин平方

Понтрягин平方
Pontryagin square

no“Tp:r“”平方【P叨t卿梦n sqUare;flo价p“r.I“a，a-皿PaTI (22*，Zn:22*二，4月)型的上同调运算(eoho-molo罗opera加n)气尹:，即，对任何拓扑空问偶(X，Y)定义的自然映射 一了2:HZ门(X，y;22‘)一H‘叹X，y;22卜)，并且满足:对任何连续映射.j:(X，y)一(X’，Y’)，等式.厂了2=‘尹2厂(自然性)成立. noHTp盯朋平方具有以下性质: 1)气，2(u+U)=丫2(u)+尹:v+i(uv)，其中1:22*卜22卜是自然的嵌人. 2)p尹Zu一。2以及尹Zp。二。2其中P:H‘(X，Y;22卜)今H‘(X，Y;22，)是取模2‘的商同态. 3)L，2艺一艺‘，，其中艺:H’一l(x;G)，H’”(艺x，G)是纬垂(suspel石ion)映射而.，是noc-TH”幼B平方(Postnikob square)(或者说，尹:的上同调纬垂是尹).若设 少::K(22‘，2，飞)卜K(22;一，4，又)和 L尹:K(Z:，，Zn一l)~K(22卜，4凡一I)是相应的上同调运算的代表映射，则O少:=尹. 性质1)，2)唯一确定了noHTp盯朋平方，因而可以作为定义它的公理.构造性地，nOHTp盯HH平方可由下式来定义 八{叫一{“日。，。十“日、。“}modZ“十’，其中“〔CZ月(X;z)模2‘为上闭链(要知道日，乘积，见Ste价耐平方(Steenrod squaxe)). no盯p盯朋平方可推广到奇素数p的情形(见[5]，〔6]).这时所得的上同调运算是(z户，2。;z。卜1，2:”)型的，称为第，个floHT钾rHH号(Pon‘哪npo峨r)尹，·运算少，，由下列公式唯一决定: 、尹，(“+:;)= 一气，(。，一。‘/，，(。卜止口价卜一’少其中i:z，*，z，*，，是自然嵌入;以及 户叨，，“二“P和了，p“二u尸，其中户一H’(X:Y;Z;一)一H‘(X，Y;Z，‘)是模护商同态，以上公式是尹:所对应的公式的推广.此时类似于3)的公式是尸，艺二o，意思是说，当p>2时，L俨，的上同调纬垂为零·当p>2时，等式尸，(u。)=一俨，(“)‘尹，(v)成立，这里乘法可以是外积(即x乘法)，或内积(日乘法).当p=2时，相应等式仅当求和的项阶为2时成立. 最一般而言，noHT脚r朋平方对系数在任意有限生成交换群7t中的上同调有定义(见〔2]，[3]).这种推广的最终形式是这样的(见【6」).n。盯卿rHH平方是一个环同态: 了‘:f(万‘·(X;兀))~万‘(x;r(兀))，其中r是一个函子，r在交换群上取的值为具有除幂的环.当二二z，时，这个同态的第p个分量就是第p个noHT即r朋幂少，(当p二2时，得到的是noH-Tp盯HH平方)·【补注】要了解r(兀)的定义，见均幂环(r ing with山训ded powers).

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