补充资料：带不定度规的Hilbert空间

带不定度规的Hilbert空间
ilbert space wWi an indefinite metric

带不定度规的H训比找空间【H训魄时s脚以铺山an如划油加metrie;T一月诵ePTo一on脚eTpa毗T一0 e.朋e中恤.Tll浦Me印.‘o益」 赋予一个连续的双线性(更确切地说，半双线性)形式G的复数域上的F口映蛇空间(Hilbert sPaCe)E，一般地说，G不是正定的.形式G常称为G度规(G-n‘州心).带不定度规的Hi lbert空间的最重要的例子是所谓J空间(J一sPaCe)—带不定度规G的Hilbert空间，其中G是由E上某个H七订苗加对合J按公式G(x，y)=〔Jx，y)定义.因而形式G也用字母J表示且称为J度规(J谊坦州c).对合J可表成J=尸十一尸_，这里尸、和P_是E中的正交投影，且尸十+P_“I;数x二n面(d加P+，djm尸一)称为J度规或J空间的不定性秩(佃止of inde侧丘苗记仪，).若‘<十阅，则带不定度规的Hil比rt空间(E，J)称为nollTp二r.空间(几油，匆n space)几:也可参看不定度规空间(sPaCe with anin山沂川telr心川c). 两个带不定度规的珊吮n空间(E，G)和(尽，G、)称为度规等价的(n‘仃公司ly闪币翎配nt)，如果存在一个E到E:上的线性同胚把G变换成Gl.由可逆的H即rnjte算子G按公式G卜，力二(Gx，y)生成的G度规称为平刚的(哩』ar);在引人一个与老的标量积度规等价的新标量积后，正则G度规变成J度规.任一带由Herrnite形式G生成的不定度规的Hilbert空间可G等距地(即保持G)嵌人到某J空间中([2】，[3}). 带不定度规的Hn忱rt空间理论的主要趋势与一般的不定度规空间理论相同，但更着重谱理论.带不定度规的到日恢叭空何上的几何学比带不定度规的警通空间的几何学丰富得多.对J空间的情况，在所有非负(非正、零性)的子空间中的极大子空间L有以下的有效描述:这些L满足凡L二尸十E(或对应地，尸_L二P_E;这些等式中至少有一个必须成立).这样类似于二次型的惯性定律二如果E=L十平L_是J空间分成半定子空间和的典范分解，则dimL士=山mP*E.子空间L是极大非负的当且仅当L有关于E、的角算子K，即L={x+心:x“E十}且“K“落1. J空间中基的理论已得到发展;此理论有助于研究带不定度规F日饮吐空间的几何学和其上的算子.J空间(E，J)的J规范正交基(J.。川刃加m司h始治)是Hil悦rt空间E中满足条件(气，气)=爪。(k，n二l，2，…)的基.J规范正交序列扩是E的Rjoz基的必要充分条件是E=M十牛M_，这里M*是向量组{ek:俩，叼=士l}的闭线性包.如果g是E中J规范正交基，则分解式E二M十斗M_是J空间E的典范分解式.带不定度规的F田长成空间中的一大批几何问题是与所谓带不定度规F山忱d空间(E，J)的子空间对偶对(du叭p出招)的结构和性质相关联的，即与E中的子空间对N，尸相关联，这里N和P是相互正交的，且N是非正的而尸是非负的空间.一个对偶对称为极大的(n拍Lxim目)如果N和尸是极大半定子空间. 带不定度规的H汕映效空间中的算子理论.设所讨论的度规G是He叮nite和非退化的，而所讨论的算子是稠定的对有定义域D:的算子T，由以下的方程定义G伴随算子Tc G(Tx，y)=G(x，Tc夕)，x任DT，夕〔D:一这里T亡=G一’T’G且 D:二G一’{GE自T’一’(兀门G日}.算子T称为G自伴的(G一肥堆呵oint)，如果T=T‘，T称为G对称的(G一syrnr沈州c)，如果G(Tx，y)=G(x，助，x，y任D:‘G对称算子T的根子空间八(T)和几(T)(又笋召)是G正交的;特别的，如果又裤又，则L，(T)是零性子空间. 如果G是正则度规，则G自伴算子T的谱试T)关于实轴是对称的;如果它不是正则的，通常不是如此.算子T的J自伴性等价于JT的自伴性.如果C心‘叮(T)，则Cay娜变换(Q少ytr田怒forln)U=(T一汀)(T一汀丫’是J酉算子(J一画恤四。详份加r)，即满足〔尽U’二u沛二J.u的谱关于圆周s=林“C:}引 =1}对称· 由几.C.no日Tp知1田(【l])的研究工作开始，此理论的主要问题是半定不变子空间的存在性.设T是J___空包里中的有界算子兰早毋杖渔星(垂，劝争旦的茎旦及一有(J了吮，Tx))O(称为加算子(pl谓刃详”幻r));如果p十开_是完全连续算子(comPletely.Coniinl即璐。详昆.tor)，则存在极大非负T不变子空间L.这个结果是有用的，特别可用于空间n‘上的J酉算子，它是所谓界定方法(山几五乙石。nn犯t1Kd)的基础，此方法是构造一个算子多项式P(U)使它把E映射到一半定子空间中.这方法能得出对n‘上J酉和J自伴算子有类似于普通谱展开的结果. 带不定度规的E日比找空间上算子理论应用于常微分方程的典则组理论，起着实质性的作用;例如对这种方程组的稳定性判别准则可借助于单值算子(n幻加-djt〕my Operator)U表述如下:稳定性成立当且仅当存在极大的U不变子空间对偶对.此理论的另一重要应用是在二次算子束的谱理论中，后者在数学物理的许多问题中是重要的. 带不定度规的Hilbert空间中的表示理论见l’].【补注】设V是复数域C上的向量空间.V上的半双肇件形水(阳闲回肠份r form)是复值函数(，):V‘V ~C，满足 (“Ixl+气凡，y)=“.(x1，y)+气帆，y)，(Al) (x，y)=(y，x)，《从)对所有的x:，气，x，y任V，气，气〔c.这里上面加的横线表示共扼复数.装备有这样的二次形式的向量空间V称为申攀宇回(~prt心uC‘sPaCe).在内积空间中，可区分出正、负和零性元素，分别由条件(x，x)>0，(x，x)<0，(x，x)二O定义.不定内积空间(i司曲面te~plt刁‘t sPace)是同时有正元素和负元素的内积空间. 内积空间V中的迷向向量(isO加Pic狱to玲)是砰二{x“V:(x，力二。，对所有的y‘V}中的元素.子空间v土称为v的迷向部分(切加pic part).内积空间是辈得侈的(nOn一甸卿旧把)，如果它的迷向部分是零. 内积空间是可分解的(缸omPC份ble)，如果它能表示成正交直和 V=V十田v。田V一，(超)其中V0由零性元素组成;x‘V+”(x，x)>O或x=仇x任v一”(x，x)<0或x=0.空间v”因而必须是V的迷向部分.并不是每一个内积空间是可分解的，但每一有限维内积空间是可分解的.每一个形如(A3)的分解称为摹夺分解(丘幻山~目deCOmLPOSition). V的定子空间(山丘苗忱su忱PaCe)是指这样的子空间U，(，)在U上的限制或者是正定的或者是负定的.在这样的子空间u上，函数{川U二!(x，x拜牌定义了一个范数(加rm).定子空间U称为内在完全的(恤的斑i以山y co哪】*)如果它按照由此范数定义的拓扑是完全的. Kpe翻李卿(Kre】nspaCe)是非退化内积空间且有一基本分解式 V二V十gV一，(A4)其中V+和V一都是内在完全的(因而对每一基本分解式都是这种情况).这些是内积空间的最重要类型.noHTP又n肛I空间(Pon奶哪如sPaCe)是一种特殊的仰e认H空间，即是具有以下性质的柳c益H空间:在它的一个基本分解式(A4)中，两个子空间之一的维数等于”<的(因而对每一个基本分解式都是如此). 关于K详如空间的几何学和算子理论见K脚‘.空间(K儿加space)和IAI]一阵习.关于其应用，例如可参看阵司一队8」. 术语“内积空间”狭义上是指装备有一个半双线性形式的向量空间，此形式除了满足(AI)和(AZ)外还满足以下的条件(A5)和(A6). (x，x))0，对所有的x任V，(A5) (x，x)二0二x=0.(A6)也就是说，内积空间狭义上即是准附比找空间(ple-E山比找sPace).半双线性形式仅满足(AI)，(A2)和(A5)的情况，用术语“准内积”.带有满足(AI)和(A2)的半双线性形式的空间则称为不定内积空间(加defi川teu刀祀l.p喇uCt sPaCe)(阵8]).这样，在[Al]和阵8」之间所用术语的对照表如下:内积—不定内积;半正定内积—准内积;正定内积—内积. 最后指出，术语“内积”和“内积空间”在代数和数论的二次型理论中还在别的不同意义下使用([A91).在那种情况下，有单位元的交换环R上的模M上的内积是一个双线性映射 刀:MxM~R满足以下的强非退化条件(strongnon一山笋祖陇y co幻卜ditions):由x*叭，叭伽)“刀恤，夕)，夕，~价y，味(x)”刀(x，力给出的两个M~Ho叭(M，R)的同态是一一映射.内积模(~p代心uCtm叨ule)则是装备内积的模，而内积空间是一个内积模(M，尹)且M又是投射模(pIOJectiVem记吐七). 而在IA8]中，在E以朋Ch代数理论中，内积模是指C’代数(C气川罗腼)B上的模X且装备有一个映射<，>:XxX~B，满足 二0钧x=0，(A8) (x，夕>=“(xl，夕>b:+<凡，夕>乓，(A10)对所有的x，xl，、，yC弋bl，瓦任B.这里)O按通常在C.代数B中定义的:元素b任B是)0的，当它是Herr山te的(即扩=b)且有形式b=aa’对某个a‘B.

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