一、构造法的含义

所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。

例如，求525，231的最大公约数。

525=231×2+63，

231=63×3+42，

63=42×1+21，

42=21×2。

最后的余数为21，所以，525，231的最大公约数为21。

求上述两个数的最大公约数是经过有限个步骤而得到，因此，这是构造性的方法。

再如，求一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可用求根公式在有限步骤内求出来。这也是构造性的方法。

现在考虑连续函数的最值定理：闭区间上连续函数有最大(小)值。在数学分析中证明这个定理时，只谈这个最值的存在，并没有给出一能行的过程在有限步骤内把这个最值计算出来，这是非构造性的方法。

图是一些顶点和一些线段的组合，在图论中给出了确切的定义，这个定义是属于构造性的。

通过以上几个例子，可以明显地看出构造法具有如下两个基本特征：

1．对所讨论的对象能进行较为直观的描述；

2．实现的具体性，就是不只是判明某种解的存在性，而且要实现具体求解。

二、构造法与构造主义

从数学产生那天起，数学中的构造性的方法也就伴随着产生了。但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直觉派有关。直党派出于对数学的“可信性”的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造。”这就是构造主义。近代对构造性方法的研究，大致经历了如下三个阶段：

1．直觉数学阶段

直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性。

他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。”他曾计划要把数学算术化并在数学领域中清除一切非构造性的成分及其根源。第二个强有力的倡导者是彭加勒，他主张自然数是最基本的直观，无需再作进一步的分析就可以认为是可信的，“与克隆尼克一样，他坚持所有的定义和证明都必须是构造性的。”近代构造法的系统创立者是布劳威，他完整而彻底地从哲学和数学两方面贯彻和发展了“存在必须被构造”的观点。这一学派中的主要人物还有海丁和魏尔。

他们在数学工作中的基本立场是：第一，认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论。这就是海丁所说的：“数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。”所以他们不允许一般集合论概念进入数学，而将全部数学都归约为自然数算术和一种利用“展形”建造起来的构造性连续统概念的假定。第二，否认传统逻辑的普遍有效性而重建直觉派逻辑。第三，批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”。这就开始了构造法的第一阶段——直觉数学时期。

2．算法数学阶段

“发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除掉，只限于研究那些可以能行地定义或构造的对象”这就是布劳威创立直觉数学的想法。为此，他抛弃了许多通常的数学术语，引进了各种超数学原理，从而使得直觉数学难以为人读懂。同时直觉数学绝对排斥非构造性数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性。在这一点上，遭到了绝大多数数学家的反对。所以“对数学家来说，布劳威理论一直是稀奇的古董，而主要为逻辑家们感兴趣”。因而产生了另外几种构造性倾向，不象直觉数学那么走极端，它们的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不象直觉数学那样去向传统的证明规则挑战。其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。算法数学是一种把数学的一切概念都归约为一个基本概念——算法的构造性方法。