补充资料：Diophantus逼近

Diophantus逼近
Diophantine approximations

　　【补注】巧0 Phani谓逼近的最重要发展是超越数(t.田s-以泊dentaln山nber)论，无理数(mtio介aln切赶ber)论和模1分布(distrib以ionm目dle one)几个方向. 涉及到用范形式表示数的问题有以下结果(【AZ」).令K是代数数域和令N记为范映射(加nnIT以P)K~Q.令M是K中的模(m目口e)，即一个有限维Z模CK(也称为一个(非完全)格).如果M⑧Q=K，就称M为满模(n』Ul班记ule).对存在一个整数m，使得方程N产=m在M中有无穷多解拜的充分必要条件是M在K的某个子域中是满模，这个子域既不是有理数域，也不是虚二次域. 令刀:，…，民是模M的基底.考虑线性形式L(xt，·“，戈)=x，刀】十…十戈民.令a取K到复数域C的所有嵌人.令毛‘“，=x，a伊，)+…+x，。(氏).乘积f(x)=n声闭是Q上。次齐次型.这种形式称为范形式(no皿fo砒).显然，求解N拜=。与用形式f(在Z中取值)表示m的过程是相同的.伪咐即如逼近【D如咖耐理a即和汕皿山胭;及.中aff-T~np，6几~，。l 研究有限个整变量的函数值逼近于零的数论分支.最初的Diophant比逼近问题涉及到实数的有理逼近.它的发展导致研究某些实函数在整数变量上必须取“小”值的间题.因此，Di0Phantus逼近与求解整数变量的不等式—DioPhartus不等式—和求解整数变量的方程(见肠州腼.‘方程(Diophanti叱叫ua-tions))有密切的联系. 如果所讨论的(逼近)函数 F=F(x，，…，戈)对整数变量xl，…，x，是线性的，那么对函数F的Diophant璐逼近称为线性的(lin雌r);否则称为非线性的(加n刁泊口r).如果F是关于xl，…，戈的齐次多项式，那么对函数F的DiophantuS逼近称为齐次的(ho-Ino罗n印us).当同时考虑至少有一个公共整数变数的几个函数F时，这样的Diophantus逼近称为联立的(s诵ul-扭n以〕us)，按上面的定义，联立Diophantus逼近可以是线性的或非线性的，齐次的或非齐次的. F的数值接近于零，不仅可以认为，对给定的e>认 】F(x，，…，戈)】<￡，还可以认为 0延F(xl，…，戈)<￡(单边逼近).函数F可以依赖于在某个区域连续变化的参数，称为带参数的Diophant出逼近.最后，逼近函数的定义域和值域不仅可以是Eudid空间的子集合，也可以是完全不同的拓扑空间(见下面，P进数域上的。沁phalltt‘逼近和幂级数域上的Diopha刀t比逼近). 在Diophant此逼近中，最古老的(最简单的)问题是线性型仪x一y逼近于零，其中“>O是给定的实数，x和y是可变的整数(线性齐次D沁phantus逼近)，也就是对:的有理逼近问题·对特殊的:(:二介，2灯’，幻，这个问题在很早就被研究了(A代瓦med。，Dioph-antus，EuCbd)，L .Euler和J .L.场笋n罗完全弄清楚了它与连分数(contln以月加以沁n)的密切联系.特别地，如果x卫>O，yJ>0，使得 }“xl一y，1=n卫们}仪x一y}成立，这里的最小值取在某个任意的区间O0，使得对所有整数x，y>O有xj“x一夕!>C.例如，对二次无理数(q送己ratic in卫tio比止ty):，这是对的，因为它展成的连分数是周期的.另一方面，对任意无理数E.wirs呢([131)找到了w。

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